Question

cho x>0;y>0 thoã mãn \(x+y\le1\)

chứng minh rằng : \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)

Answer 1

1/x + 1/y >= 4/x+y

<=> x+y/xy >= 4/x+y

<=> (x+y)^2/xy(x+y) >= 4xy/xy(x+y)

<=> x^2 + y^2 + 2xy >= 4xy (x,y > 0)

<=> x^2 + y^2 + 2xy - 4xy >= 0

<=> (x-y)^2 >= 0 ( luôn đúng với mọi x,y)

Vậy bất đẳng thức đề bài đúng