Question

Cho x>0, y>0, và \(x+y\le\frac{1}{2}\) . Tìm GTNN \(P=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{2}{xy}+64xy\)

Answer 1

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

$\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\geq \frac{4}{x^2+y^2+2xy}=\frac{4}{(x+y)^2}\geq \frac{4}{(\frac{1}{2})^2}=16$

$\frac{1}{4xy}+64xy\geq 8$

$\frac{5}{4xy}\geq \frac{5}{(x+y)^2}\geq \frac{5}{(\frac{1}{2})^2}=20$

Cộng theo vế:

$\Rightarrow P\geq 44$

Vậy $P_{\min}=44$ khi $x=y=\frac{1}{4}$