Question

cho x; y>=1

chứng minh rằng:

\(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\ge\frac{2}{1+xy}\)

Answer 1

\(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\ge\frac{2}{1+xy}\)

<=> \(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}-\frac{2}{1+xy}\ge0\)

<=> \(\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{1+xy}+\frac{1}{1+y^2}-\frac{1}{1+xy}\ge0\)

Rồi bạn quy đồng mẫu lên và phân tích tử và mẫu thành nhân tử => chứng minh tử \(\ge\) 0 và mẫu >0 nhé

=> ĐPCM

Answer 2

đề thiếu dấu căn ở mẫu (hình như là thế)

Answer 3

Tiếp nè:

<=> \(\frac{1+xy-1-x^2}{\left(1+x^2\right)\left(1+xy\right)}+\frac{1+xy-1-y^2}{\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)

<=> \(\frac{-x\left(x-y\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+xy\right)}+\frac{y\left(x-y\right)}{\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)

<=> \(\frac{-x\left(x-y\right)\left(1+y^2\right)+y\left(x-y\right)\left(1+x^2\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+xy\right)\left(1+y^2\right)}\ge0\)

Đó bạn phân tích nhân tử của tử số đi rồi chứng minh nó luôn \(\ge\) 0 và chứng minh mẫu luôn > 0 rồi => ĐPCM