Ta có: \(A^2=\left(\sqrt{x-4}+\sqrt{y-3}\right)^2\\ =x-4+y+3+2\sqrt{\left(x-4\right)\left(y-3\right)}\\ =8+2\sqrt{\left(x-4\right)\left(y-3\right)}\)
Theo bđt Cauchy, ta có \(2\sqrt{\left(x-4\right)\left(y-3\right)}\le x-4+y-3=8\Rightarrow A^2\le8+8=16\Rightarrow C\le4\)
Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge4;y\ge3\\x+y=15\\x-4=y-3\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=8\\y=7\end{matrix}\right.\)
Vậy Amax=4 khi và chỉ khi x=8, y=7
Ta có: \(A^2=8+2\sqrt{\left(x-4\right)\left(y-3\right)}\) vì \(2\sqrt{\left(x-4\right)\left(y-3\right)}\ge0\) nên \(A^2\ge8\Rightarrow A=2\sqrt{2}\)
Dấu'=' xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge4,y\ge3\\x+y=15\\\left(x-4\right)\left(y-3\right)=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=4\\y=11\end{matrix}\right.\) và \(\left\{{}\begin{matrix}x=12\\y=3\end{matrix}\right.\)
Vậy Amin= \(2\sqrt{2}\) khi và chỉ khi x=4, y=11 hoặc x=12, y=3