Question

Cho (x; y; z) là nghiệm của hệ phương trình 36 x 2 y − 60 x 2 + 25 y = 0 36 y 2 z − 60 y 2 + 25 z = 0 36 z 2 x − 60 z 2 + 25 x = 0 . Giá trị nhỏ nhất của A = x + y + z là:

A. A = 0

B.  A = 5 2

C. A = 1

D. A = −2

Answer 1

36 x 2 y − 60 x 2 + 25 y = 0 36 y 2 z − 60 y 2 + 25 z = 0 36 z 2 x − 60 z 2 + 25 x = 0 ⇔ y = 60 x 2 36 x 2 + 25 z = 60 y 2 36 y 2 + 25 x = 60 z 2 36 z 2 + 25 ⇒ x ,   y ,   z ≥ 0

Nhận thấy x = y = z = 0 là một nghiệm của hệ phương trình

Xét x > 0; y > 0; z > 0 áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số không âm ta có:

36 x 2 + 25 ≥ 2 36 x 2 .25 = 60 | x | ≥ 60 x ⇒ y ≤ x

Chứng minh tương tự, ta được  z ≤ y ; x ≤ z ⇒ x ≤ z ≤ y ≤ x ⇒ x = y = z

Thay vào phương trình (1) ta được 36 x 3 – 60 x 2 + 25 x = 0 ⇔ x = 5 6    

hay x = y = z =  5 6

Suy ra giá trị nhỏ nhất của A = x + y + z = 0 (khi x = y = z = 0)

Đáp án:A