Bài này dùng bđt Cô-si và cũng phải để ý đẳng thức xảy ra khi nào
Có: \(\sqrt{xy}\le\frac{x+y}{2}=2\Rightarrow xy\le4\)(Đẳng thức xảy ra khi x=y)
Lại có: \(x^2y^2\left(x^2+y^2\right)\le128\Leftrightarrow2xy\cdot2xy\cdot\left(x^2+y^2\right)\le512\)(*)
(phân tích để khi dùng bdt cô-si thì x^2 + y^2 = 2xy <=> x=y)
Áp dụng bdt cô-si ta có: \(2xy\cdot2xy\cdot\left(x^2+y^2\right)\le\frac{1}{27}\left(x^2+y^2+2xy+2xy\right)^3\)
\(\le\frac{1}{27}\left[\left(x+y\right)^2+2\cdot4\right]^3=\frac{1}{27}\left(16+8\right)^3=512\)
Do đó (*) đúng. Vậy \(x^2y^2\left(x^2+y^2\right)\le128\)
Còn lười suy nghĩ thì em nghĩ có thể sử dụng cách trâu bò nhất!
BĐT\(\Leftrightarrow32x^2y^2\left(x^2+y^2\right)\le\left(x+y\right)^6\)
\(VP-VT=\left(x-y\right)^2\left[\left(x^2-y^2\right)^2+8xy\left(x^2+y^2\right)\right]\ge0\)