Question

cho x ; y >= 1 . chứng minh rằng : 1/( 1 + x^2) + 1/(1 +y^2) >= 2/( 1 +xy)

Answer 1

không mất tính tổng quát giả sử x \(\le\)y

BĐT tương đương \(\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{1+xy}\ge\frac{1}{1+xy}-\frac{1}{1+y^2}\)

quy đồng và rút gọn ta được \(\frac{x}{\left(1+x^2\right)}\ge\frac{y}{1+y^2}\)

suy ra \(x\left(1+y^2\right)\ge y\left(1+x^2\right)\)

Phá ngoặc, chuyển vế, phân tích nhân tử ta được (y - x)(xy - 1) \(\ge\)0 (1)

vì x, y\(\ge\)1 và y \(\ge\)x nên (1) luôn đúng. (đpcm)

Answer 2

Xét hiệu 2 vế + sử dụng gt xy>/1