a) ta có \(x+y=1\Rightarrow\left(x+y\right)^2=1\)
Áp dụng bđt cô si ta có \(2xy\le x^2+y^2\Rightarrow4xy\le\left(x+y\right)^2=1\Rightarrow2xy\le\frac{1}{2}\)
=> \(\frac{1}{2xy}\ge2\)
dấu = xảy ra <=> x=y=1/2
Tui cần cả cách làm lẫn kết quả nha bạn
Ta có :
\(a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow\left(a^2+2ab+b^2\right)\ge4ab\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\Rightarrow1\ge4ab\Rightarrow ab\le\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{1}{2.\frac{1}{4}}=2\) (dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\))
\(Q=\frac{2}{xy}+\frac{3}{x^2+y^2}=\left(\frac{3}{2xy}+\frac{3}{x^2+y^2}\right)+\frac{1}{2xy}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy dạng phân thức ta có :
\(\frac{3}{2xy}+\frac{3}{x^2+y^2}=3\left(\frac{1}{2xy}+\frac{1}{x^2+y^2}\right)\ge3.\frac{4}{2xy+x^2+y^2}=3.\frac{4}{\left(x+y\right)^2}=12\)
\(\Rightarrow Q\ge12+2=14\)(Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\))
Vậy \(P_{min}=2;Q_{min}=14\) tại \(x=y=\frac{1}{2}\)
ta có \(Q=\frac{2}{xy}+\frac{3}{x^2+y^2}=\frac{3}{2xy}+\frac{3}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\)
Á dụng bđt svác sơ ta có
\(\frac{3}{2xy}+\frac{3}{x^2+y^2}\ge\frac{3.4}{x^2+2xy+y^2}=\frac{12}{\left(x+y\right)^2}=12\)
chứng minh tương tự câu trên ta có \(2xy\le\frac{1}{2}\) => \(\frac{1}{2xy}\ge2\)
=> \(Q\ge14\)
dấu = xảy ra <=> x=y=1/2
Cảm ơn bạn nha nhưng cho mình hỏi trường hợp dấu = xảy ra bạn có thể chỉ rõ hơn tại sao bạn lại biễn đổi đc x = y =1 /2