1. Cho số thực x. CMR: \(x^4+5>x^2+4x\)
2. Cho số thực x, y thỏa mãn x>y. CMR: \(x^3-3x+4\ge y^3-3y\)
3. Cho a, b là số thực dương thỏa mãn \(a^2+b^2=2\). CMR: \(\left(a+b\right)^5\ge16ab\sqrt{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}\)
cho x,y là 2 số thực thỏa mãn \(2\left(x^2+y^2\right)+xy=1.\) tìm min và max của bth P=\(2\left(x^4+y^4+1\right)+\left(x+y\right)^2\)
cho x,y,z,t thỏa mãn xyzt=1. Cmr:
\(\frac{1}{x^3\left(yz+zt+ty\right)}+\frac{1}{y^3\left(xz+zt+xt\right)}+\frac{1}{z^3\left(xt+yt+yz\right)}+\frac{1}{t^3\left(xy+yz+xz\right)}\ge\frac{3}{4}\)
Cho hai số thực x,y khác 0 thay đổi và thỏa mãn đk \(\left(x+y\right)xy=x^2+y^2-xy\). GTLN của bthuc \(M=\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{y^3}\)
CHO x,y,z >0 ,xyz=\(\frac{1}{2}\)
CMR:\(\frac{yz}{x^2\left(y+z\right)}\)+\(\frac{zx}{y^2\left(z+x\right)}\)+\(\frac{xy}{z^2\left(x+y\right)}\) ≥ xy+yz+zx
Cho x,y,z > 0 thỏa mãn xy + yz + xz = 1 . Chứng minh \(\dfrac{27}{4}\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)\ge\left(\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{x+z}\right)^2\ge6\sqrt{3}\)
Cho x, y, z >0 thoả mãn \(x^2+y^2+z^2=1\) . Cmr: \(\frac{x+y+z}{xy+yz+xz}\ge\sqrt{3}+\frac{1}{2\sqrt{3}}\left[\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\right]\)
giải hệ phương trình
a) \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{2x^2+2y^2}+\sqrt{\frac{4}{3}\left(x^2+xy+y^2\right)}=2\left(x+y\right)\\\sqrt{3x+1}+\sqrt{5x+4}=3xy-y+3\end{matrix}\right.\)
b) \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{5x^2+2xy+2y^2}+\sqrt{2x^2+2xy+5y^2}=3\left(x+y\right)\\\sqrt{x+2y+1}+2\sqrt[3]{12x+7y+8}=2xy+x+5\end{matrix}\right.\)
c)\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+xy+x+3=0\\\left(x+1\right)^2+3\left(y+1\right)+2\left(xy-\sqrt{x^2y+2y}\right)=0\end{matrix}\right.\)
Với mọi x; y khác 0. CMR
\(P=\frac{1}{2}\left(\frac{x^{10}}{y^2}+\frac{y^{10}}{x^2}\right)+\frac{1}{4}\left(x^{16}+y^{16}\right)-\left(1+x^2y^2\right)\ge-\frac{5}{2}\)
