Cho x, y, z >0 thoả mãn \(x^2+y^2+z^2=1\) . Cmr: \(\frac{x+y+z}{xy+yz+xz}\ge\sqrt{3}+\frac{1}{2\sqrt{3}}\left[\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\right]\)
cho x,y,z ∈ [0;4]. Tìm GTLN của
\(P=\sqrt{xy}\left(x-y\right)+\sqrt{yz}\left(y-z\right)+\sqrt{xz}\left(z-x\right)\)
Chứng minh BĐT \(\sqrt[3]{\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)\left(z^2+1\right)}\le\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}+1\)
với x,y,z>0 và \(Min\left\{xy,yz,zx\right\}\ge1\)
Cho x;y;z;t thỏa mãn: \(xyzt=1\) Chứng minh rằng: \(\dfrac{1}{x^2\left(yz+zt+ty\right)}+\dfrac{1}{y^2\left(xz+zt+tx\right)}+\dfrac{1}{z^2\left(xy+xt+tz\right)}+\dfrac{1}{t^2\left(xy+yz+xz\right)}\ge\dfrac{4}{3}\)
Cho ba số x,y,z không âm thỏa mãn x+y+z=3. Chứng minh rằng:
\(\left(x^3+y^3+z^3\right)\left(x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3\right)\le36\left(xy+yz+xz\right)\)
Cho x, y, z là các số thực dương. CMR:
\(\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\left(\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}\right)\ge4\left(xy+yz+zx\right)\)
@Nguyễn Việt Lâm
Cho x,y,z > 0 Tìm GTNN của
\(\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2+\left(z-1\right)^2+\dfrac{12}{\left(x+y\right)\sqrt{x+y+1}}+\dfrac{12}{\left(y+z\right)\sqrt{y+z+1}}\)
Giúp với ạ !!!
Cho a,b,c > 0 và các số x,y,z dương . CHứng minh rằng
\(\dfrac{a\left(z^2+y^2\right)}{b+c}+\dfrac{b\left(x^2+z^2\right)}{a+c}+\dfrac{c\left(x^2+y^2\right)}{a+b}\ge xy+yz+xz\)
1)Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+z=15\\x^3+y^3+z^3=495\end{matrix}\right.\)
2) Cho a,b,c là 3 số thực không âm, tìm GTLN của biểu thức:
\(M=\left(a+b+c\right)^3+a\left(2bc-1\right)+b\left(2ac-1\right)+c\left(2ab-1\right)\)
3) Giải phương trình: \(\sqrt{x-\sqrt{x^2-1}}=\dfrac{9\sqrt{2}}{4}\left(x-1\right)\sqrt{x-1}\)
4) Cho \(x^2+y^2+z^2=k\left(\forall k>0\right)\) cho trước.
Tìm GTLN của \(A=k\left(xy+yz+xz\right)+\dfrac{1}{2}\left[x^2\left(y-z\right)^2+y^2\left(x-z\right)^2+z^2\left(x-y\right)^2\right]\)
5) Chứng minh rằng:
\(\left(3a+2b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\le\dfrac{45}{2}\)(Bài này quên điều kiện hay gì đó rồi, ae nếu thấy sai thì fix giùm)
6) Cho a là số thay đổi thỏa mãn: \(-1\le a\le1\)
Tìm GTLN của b sao cho bđt sau đúng:
\(2\sqrt{1-a^4}+\left(b-1\right)\left(\sqrt{1+a^2}-\sqrt{1-a^2}\right)+b-4\le0\)
7) Cho a,b,c dương thỏa mãn \(abc=1\). Chứng minh rằng:
\(\sum\dfrac{a}{\sqrt{8b^3+1}}\ge1\)
8) Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
\(\sum\dfrac{a^2-b^2}{\sqrt{b+c}}\ge0\)
