Question

Cho x, y >0 thỏa mãn x+y+2=4xy

Tìm GTNN của x+y+\(\dfrac{1}{x+y}\)

Answer 1

Answer 2

\(x+y+2=4xy\Rightarrow x+y+2\le\left(x+y\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-\left(x+y\right)-2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y-2\right)\left(x+y+1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow x+y-2\ge0\) (do x+y+1>0 với mọi x,y>0)

\(\Leftrightarrow x+y\ge2\)

Có \(x+y+\dfrac{1}{x+y}=\left(x+y\right)+\dfrac{4}{x+y}-\dfrac{3}{x+y}\)\(\ge2\sqrt{\left(x+y\right).\dfrac{4}{x+y}}-\dfrac{3}{2}=\dfrac{5}{2}\)

Dấu = xảy ra <=> x=y=1

Vậy GTNN của biểu thức là \(\dfrac{5}{2}\)