HH

Cho x, y > 0 thỏa mãn x + y = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của A= 1/x + 1/4y

VH
27 tháng 7 2023 lúc 22:24

\(A=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{4y}=\dfrac{4}{4x}+\dfrac{1}{4y}=\dfrac{2^2}{4x}+\dfrac{1^2}{4y}\)

Áp dụng BĐT Cauchy schwart, ta có:

\(A=\dfrac{2^2}{4x}+\dfrac{1^2}{4y}\ge\dfrac{\left(2+1\right)^2}{4\left(x+y\right)}=\dfrac{9}{4.2}=\dfrac{9}{8}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2}{4x}=\dfrac{1}{4y}\\x+y=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{2x}=\dfrac{1}{4y}\\x+y=2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x=4y\\x+y=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2y\\x+y=2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{4}{3}\\y=\dfrac{2}{3}\end{matrix}\right.\)

Vậy, GTNN của \(A=\dfrac{9}{8}\Leftrightarrow\left(x,y\right)=\left(\dfrac{4}{3},\dfrac{2}{3}\right)\)

Bình luận (1)
VH
28 tháng 7 2023 lúc 9:17

Áp dụng BĐT Cosi cho 2 cặp số dương là  \(\dfrac{1}{x};\dfrac{9}{16}x\) và \(\dfrac{1}{4y};\dfrac{9}{16}y\) , ta có:

\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{9}{16}x\ge2\sqrt{\dfrac{1}{x}.\dfrac{9}{16}x}=2.\dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{2}\)

\(\dfrac{1}{4y}+\dfrac{9}{16}y\ge2\sqrt{\dfrac{1}{4y}.\dfrac{9}{16}y}=2.\dfrac{3}{8}=\dfrac{3}{4}\)

Cộng vế theo vế ta được: \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{4y}+\dfrac{9}{16}\left(x+y\right)\ge\dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{4}=\dfrac{9}{4}\)

\(\Leftrightarrow A+\dfrac{9}{16}.2\ge\dfrac{9}{4}\Leftrightarrow A\ge\dfrac{9}{4}-\dfrac{9}{8}=\dfrac{9}{8}\)

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow\left(x,y\right)=\left(\dfrac{4}{3};\dfrac{2}{3}\right)\)

Bình luận (1)

Các câu hỏi tương tự
H24
Xem chi tiết
NP
Xem chi tiết
NT
Xem chi tiết
TB
Xem chi tiết
DM
Xem chi tiết
HT
Xem chi tiết
NH
Xem chi tiết
DH
Xem chi tiết
RG
Xem chi tiết