cho tam giác MNP cân tại M có đường cao MI .Trên tia đối của tia NI lấy điểm A sao cho NA = NI. lấy điểm B sao cho P là trung điểm của MB
a. chứng minh rằng : I là trung điểm của NP và I cách đều hai cạnh MN,MP.
b.Chứng minh rằng BI=MA
c.Gọi C là trung điểm của AB.Chứng minh rằng ba điểm M,I,C thẳng hàng
a) xét ΔMPI và ΔMNI có:
\(\widehat{MIN}=\widehat{MIP}=90^o\)
MN=MP(ΔMNP cân tại M)
\(\widehat{MNI}=\widehat{MPI}\)(ΔMNP cân tại M)
⇒ΔMPI=ΔMNI(c.huyền.g.nhọn)
⇒IN=IP(2 cạnh tương ứng)
hay I là trung điểm của NP(đ.p.ch/m)
vì ΔMPI=ΔMNI nên \(\widehat{PMI}=\widehat{NMI}\)(2 góc tương ứng)
hay MI là phân giác của \(\widehat{PMN}\)
⇒điểm I cách đều 2 cạnh MN và MP(đ.p.ch/m)
b)Ta có: \(\widehat{MNI}+\widehat{MNA}=180^o\) (2 góc kề bù)
Mặc khác \(\widehat{MPI}+\widehat{BPI}=180^o\)(2 góc kề bù)
Mà \(\widehat{MNI}=\widehat{MPI}\)
Do đó: \(\widehat{MNA}=\widehat{BPI}=180^o-\widehat{MNI}\)
Vì I là trung điểm của NP⇒NI=PI
Mà NI=NA
⇒NA=PI
vì ΔMNP cân tại M ⇒MN=MP
Mà BP=MP ⇒BP=MN
xét ΔMNA và ΔBPI có:
\(\widehat{MNA}=\widehat{BPI}\)(ch/m trên)
NA=PI(ch/m trên)
BP=MN(ch/m trên)
⇒ΔMNA=ΔBPI(c-g-c)
⇒BI=MA(2 cạnh tương ứng)
c)Vì P là trung điểm của MB ⇒AP là đường trung tuyến của ΔMNP
vì C là trung điểm của AB ⇒MC là đường trung tuyến của ΔMNP
⇒I là trọng tâm của ΔMAB
⇒I,M,C thẳng hàng(đ.p.ch/m)