Câu 7:Cho tam giác ABC vuông tại A với các đường phân giác trong BM và CN. Chứng minh bất đẳng thức sau: (MC+MA)(NB+NA)/MA.NA>=3+2 căn 2
Câu 8:Cho các số nguyên dương a,b,c sao cho 1/a+1/b=1/c. chứng minh rằng a+b không thể là số nguyên tố.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy để chứng minh các bất đẳng thức sau đây với a,b,c là các số thực dương
a) \(\left(ab+c^2\right)\left(bc+a^2\right)\left(ca+b^2\right)\ge abc\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)
b) \(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge\frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}+1\)
Cho k là số nguyên dương bất kì. Chứng minh bất đẳng thức sau \(\frac{1}{\left(k+1\right)\sqrt{k}}< 2\left(\frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k+1}}\right)\)
1 . Cho \(a,b,c\ne0\in Q\) và \(a=b+c\)
CMR : \(\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}\in Q\)
2 . Cho ba số dương x,y,z thõa mãn điều kiện xy+yz+zx=1 tính:
\(A=x\sqrt{\frac{\left(1+y^2\right)\left(1+z^2\right)}{1+x^2}}+y\sqrt{\frac{\left(1+z^2\right)\left(1+x^2\right)}{1+y^2}}+z\sqrt{\frac{\left(1+x\right)^2\left(1+y^2\right)}{1+z^2}}\)
3 .
Từ điểm M nằm ngoài đường tròn vẽ tiếp tuyến MA tới đường tròn (O; R), ( A là tiếp điểm). Gọi E là trung điểm đoạn AM và hai điểm I, H lần lượt là hình chiếu của E và A trên đường thẳng OM. Qua M vẽ cát tuyến MBC tới đường tròn (O) sao cho MB < MC và tia MC nằm giữa hai tia MA, MO.
a) Chứng minh các hệ thức: MA2 = MB.MC; MA2 = MH.MO.
b) Chứng minh ∆MBH đồng dạng ∆MOC. Từ đó chứng minh tứ giác BCOH nội tiếp đường tròn.
c) Chứng minh . Vẽ tiếp tuyến IK tới đường tròn (O) với K là tiếp điểm. và ∆MKH vuông tại K.
d) Giả sử BC = 3BM và D là trung điểm đoạn MC. Chứng minh: MC tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp ∆ODH
Cho tam giác ABC cân tại A có góc A nhọn .Vẽ BM //AC .Chứng minh hệ thức \(\dfrac{AM}{MC}=2\left(\dfrac{AB}{BC}\right)^2-1\)
Câu 1 a, Giải hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}3x^3-y^3=\frac{1}{x+y}\\x^2+y^2=1\end{matrix}\right.\)
b, Giải phương trình \(\sqrt{3-2x}+\sqrt[3]{5+3x}=3\)
c, Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình \(\frac{x^2-4}{x}+\frac{y^2-4}{y}+8=4\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}\right)\)
Câu 2 a , Với a;b;c là 3 số thực đôi một phân biệt chứng minh rằng
\(\frac{2a+b}{a-b}+\frac{2b+c}{b-c}+\frac{2c+a}{c-a}=\frac{\left(2a+b\right)\left(2b+c\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)}+\frac{\left(2b+c\right)\left(2c+a\right)}{\left(b-c\right)\left(c-a\right)}+\frac{\left(2c+a\right)\left(2a+b\right)}{\left(c-a\right)\left(a-b\right)}+3\)
b, So sánh A và 1 . biết A = \(\frac{9+\sqrt{9+\sqrt{9+\sqrt{9}}}}{9+\sqrt{9+\sqrt{9+\sqrt{9+\sqrt{9}}}}}\)
c, Chứng minh bc là số chính phương biết a,b,c là các số nguyên và thỏa mãn \(\frac{a^2}{a^2+b^2}+\frac{c^2}{a^2+c^2}=\frac{2c}{b+c}\)
Câu 3 a, Cho tam giác ABC đều . Trên tia đối tia CB lấy D sao cho góc CAD = 15 độ . Đường thẳng vuông góc vơi BC tại C cắt AD ở E . Tia phân giác góc ABC cắt AD tại K . Chứng minh AK= DE
b, Cho tam giác ABC vuông tại A có góc B = 15 độ . Các điểm E , F lần lượt nằm trên các cạnh AC,AB sao cho góc ABE = 10 độ và góc ACF = 30 độ . Tính số đo góc CFE
c,Cho tam giác ABC trên tia BA lấy M , trên tia CA lấy N sao cho BM=CN. chứng minh đường trung trực của MN luôn đi qua 1 điểm cố định.
Câu 4 a, Tìm số nguyên tố p để p^3-4p+9 là số chính phương
b,Cho 2 đường thẳng (d1): mx+(m-2)y+m+2=0 và đường thẳng (d2): (2-m)x+my-m-2=0 . Chứng minh hai đường thẳng (d1) và (d2) luôn cắt nhau tại 1 điểm H và khi m thay đổi thì H luôn nằm trên 1 đường tròn cố định
Câu 5 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB =2R.Gọi C là trung điểm AO . Vẽ tia Cx vuông với AB cắt nửa đường tròn tại I . Lấy K bất kì thuộc CI (K khác C và I).Tia AK cắt nửa đường tròn (O) tại M ; tia BM cắt tia Cx tại D . Vẽ tiếp tuyến nửa đường tròn (O) tại M cắt tia Cx tại N . chứng minh
a, Tam giác MNK cân b,Tính diện tích tam giác ABD theo R khi K là trung điểm CI
c, Khi K di động trên CI . Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác AKD đi qua điểm cố định thứ hai khác A
Câu 6 a, Cho a,b,c>0 và a+b+c=3 Tính GTNN của E = \(\frac{1}{a^2b+2}+\frac{1}{b^2c+2}+\frac{1}{c^2a+2}\)
b, Cho a, b là các số thực thỏa a+b khác 0 . Chứng minh \(a^2+b^2+\left(\frac{1+ab}{a+b}\right)^2\ge2\)
cho \(a,b,c>\frac{1}{2}\) và thỏa mãn \(a+b+c=3\).Chứng minh rằng
\(\frac{a^2}{\sqrt{5-2\left(b+c\right)}}+\frac{b^2}{\sqrt{5-2\left(a+c\right)}}+\frac{c^2}{\sqrt{5-2\left(a+b\right)}}\ge3\)
1 . Cho a,b,c thực dương t.m: a+b+c=2
CMR: \(P=\frac{ab}{\sqrt{\left(ab+2c\right)}}+\frac{bc}{\sqrt{\left(bc+2a\right)}}+\frac{ca}{\sqrt{\left(ca+2b\right)}}\le1\)
2 . Cho tam giác ABC nhọn có góc BAC> góc ACB. Đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh AB, BC, CA lần lượt tại M,N,E. Gọi K là giao điểm của BO và NE. Chứng minh
a ) \(\widehat{AOB}=90^0+\frac{\widehat{ACB}}{2}\)
b )
b) 5 điểm A, M, K, O, E cùng thuộc một đường tròn
c Gọi T là giao điểm BO với AC. Chứng minh: KT.BN = KB.ET
Cho a, b, c là số thực dươn. Chứng minh bất đẳng thức:
\(\dfrac{1}{a\left(a^2+8ab\right)}+\dfrac{1}{b\left(b^2+8ac\right)}+\dfrac{1}{c\left(c^2+8ab\right)}\le\dfrac{1}{3abc}\)
