+)Xét tam giác ABC vuông tại A
\( \implies\)\(AB^2+AC^2=BC^2\) ( Theo định lý Py - ta - go )
\( \implies\) \(c^2+b^2=BC^2\)
\( \implies\) \(BC=\sqrt{b^2+c^2}\)
+)Ta có : \(AD=\frac{1}{2}BC\) ( AD là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC )
\( \implies\) \(AD=\frac{1}{2}.\sqrt{b^2+c^2}\)
\( \implies\) \(AD=\frac{\sqrt{b^2+c^2}}{2}\)
+)Xét tam giác BAE vuông tại A
\( \implies\) \(BE^2=AB^2+AE^2\) ( Theo định lý Py - ta - go )
\( \implies\) \(BE^2=c^2+\left(\frac{b}{2}\right)^2\)
\( \implies\) \(BE^2=c^2+\frac{b^2}{4}\)
\( \implies\) \(BE=\sqrt{c^2+\frac{b^2}{4}}\)
+)Xét tam giác ABC có :
Hai đường trung tuyến AD ; BE cắt nhau tại G
\( \implies\) G là trọng tâm của tam giác ABC
\( \implies\) \(BG=\frac{2}{3}BE\)
Mà \(BE=\sqrt{c^2+\frac{b^2}{4}}\)
\( \implies\) \(BG=\frac{2}{3}.\sqrt{c^2+\frac{b^2}{4}}\)
\( \implies\) \(BG=\frac{2}{3}.\sqrt{\frac{4c^2+b^2}{4}}\)
\( \implies\) \(BG=\frac{2}{3}.\frac{\sqrt{4c^2+b^2}}{2}\)
\( \implies\) \(BG=\frac{\sqrt{4c^2+b^2}}{3}\)
+) \(AD=\frac{1}{2}BC=BD=DC\) ( AD là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC )
+)G là trọng tâm của tam giác ABC
\( \implies\) \(GD=\frac{1}{3}AD=\frac{1}{3}BD=\frac{1}{3}.\frac{\sqrt{b^2+c^2}}{2}=\frac{\sqrt{b^2+c^2}}{6}\)
+)Để AD vuông góc với BE thì tam giác BGD là tam giác vuông tại G
\( \implies\) \(BG^2+GD^2=BD^2\) ( Theo định lý Py - ta - go )
\( \implies\) \(\left(\frac{\sqrt{4c^2+b^2}}{3}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{b^2+c^2}}{6}\right)^2=\left(\frac{\sqrt{b^2+c^2}}{2}\right)^2\)
\( \implies\) \(\frac{4c^2+b^2}{9}+\frac{b^2+c^2}{36}=\frac{b^2+c^2}{4}\)
\( \implies\) \(\frac{4\left(4c^2+b^2\right)}{36}+\frac{b^2+c^2}{36}=\frac{9\left(b^2+c^2\right)}{36}\)
\( \implies\) \(16c^2+4b^2+b^2+c^2=9b^2+9c^2\)
\( \implies\) \(17c^2+5b^2=9b^2+9c^2\)
\( \implies\) \(8c^2=4b^2\)
\( \implies\) \(2c^2=b^2\)
\( \implies\) \(b=\sqrt{2c^2}\)
\( \implies\) \(b=\sqrt{2}c\)
Vậy để AD vuông góc với BE thì : \(b=\sqrt{2}c\)