Lời giải:
Vì tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AM$ là trung tuyến nên
\(AM=BM=MC=41\)
Áp dụng định lý Pitago cho tam giác $HAM$ có:
\(HM=\sqrt{AM^2-HA^2}=\sqrt{41^2-40^2}=9\)
Do đó:
\(\left\{\begin{matrix} BH=BM-HM=41-9=32\\ CH=HM+MC=9+41=50\end{matrix}\right.\)
Xét tam giác $BAH$ và $BCA$ có:
\(\left\{\begin{matrix} \text{chung góc}\widehat{B}\\ \widehat{BAH}=\widehat{BCA}(=90^0-\widehat{B})\end{matrix}\right.\Rightarrow \triangle BAH\sim \triangle BCA\)
\(\Rightarrow \frac{BA}{BH}=\frac{BC}{BA}\Leftrightarrow BA^2=BH.BC\)
Tương tự, \(AC^2=CH.BC\)
Suy ra \(\left(\frac{AB}{AC}\right)^2=\frac{BH.BC}{CH.BC}=\frac{BH}{CH}=\frac{32}{50}=\frac{16}{25}\)
\(\Leftrightarrow \frac{AB}{AC}=\frac{4}{5}\)