Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC , đường cao AH . Đường tròn đường kính AH cắt AB ở P và cắt AC ở Q
a ) Chứng minh \(\widehat{PHQ}=90^0\)
b ) Chứng minh tứ giác BPQC nội tiếp
c ) Gọi E , F lần lượt là trung điểm của BH , HC . Tứ giác EPQF là hình gì
d ) Tính diện tích tứ giác EPQF trong trường hợp tam giác vuông ABC có cạnh huyền BC = a và \(\widehat{ACB}=30^0\)
a ) Gọi D là trung điêm của AH \(\Rightarrow\left(D\right)\cap AB=P,\left(D\right)\cap AC=Q\)
\(\Rightarrow HP\perp AB,HQ\perp AC\) vì AH là đường kính của (D)
Mà \(AP\perp AC\Rightarrow APHQ\) là hình chữ nhật
\(\Rightarrow\widehat{PHQ}=90^0\)
b ) Vì APHQ là hình chữ nhật
\(\Rightarrow\widehat{APQ}=\widehat{PAH}=\widehat{ACB}\left(+\widehat{ABC}=90^0\right)\)
\(\Rightarrow BCPQ\) nội tiếp
c ) Vì E là trung điểm của BH , \(HP\perp AB\)
\(\Rightarrow\widehat{EPH}=\widehat{EHP}=\widehat{PAH}=\widehat{APQ}\)
\(\Rightarrow PE\perp DP\)
Tương tự ta có : \(QF\perp DQ\)
Mà \(\widehat{PHQ}=90^0\) \(\Rightarrow PQ\) là đường kính của (D )
\(\Rightarrow P,D,Q\) thẳng hàng
\(\Rightarrow PE\) // QF \(\Rightarrow PQFE\)là hình thang vuông