Question

 

Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 6cm, AC = 8cm. Đường phân giác của góc ABC cắt cạnh AC tại D . Từ C kẻ CE vuông góc với BD tại E.
b. Cm tam giác ABD đồng dạng với tam giác EBC . Từ đó suy ra BD.EC = AD.BC
c. Cm 
d. Gọi EH là đường cao của tam giác EBC . Cm : CH.CB = ED.EB

Answer 1

b/

Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta EBC\) có:

\(\widehat{A}=\widehat{E}=90^o\) ( vì \(\Delta ABC\) vuông tại A và \(CE\perp BD\) tại E)

\(\widehat{ABD}=\widehat{EBC}\) ( vì BD là tia phân giác của \(\widehat{ABC}\) )

\(\Rightarrow\Delta ABD~\Delta EBC\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{BD}{BC}=\dfrac{AD}{EC}\) ( 2 cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

\(\Rightarrow BD.EC=BC.AD\)

c/ Vì \(\Delta ABD~\Delta EBC\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{ADB}=\widehat{ECB}\)

Mà \(\widehat{ADB}=\widehat{EDC}\) ( 2 góc đối đỉnh)

\(\Rightarrow\widehat{EDC}=\widehat{ECB}\)

Xét \(\Delta ECD\) và \(\Delta EBC\) có:

\(\widehat{E}\) là góc chung

\(\widehat{EDC}=\widehat{ECB}\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\Delta ECD~\Delta EBC\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{EC}{EB}=\dfrac{CD}{BC}\) ( 2 cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

d/ Xét \(\Delta EBC\) vuông tại E, đường cao EH ứng với cạnh BC

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

\(EC^2=CH.CB\) (3)

Vì \(\Delta ECD~\Delta EBC\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{ED}{EC}=\dfrac{EC}{EB}\) ( 2 cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

\(\Rightarrow EC.EC=ED.EB\)

\(\Leftrightarrow EC^2=ED.EB\left(4\right)\)

Từ (3) và (4) \(\Rightarrow CH.CB=ED.EB\)