Xét \(\Delta ABC\)vuông tại A ta có:
\(AB^2+AC^2=BC^2\)( định lý Py-ta-go) (1)
Xét \(\Delta AHC;\Delta AHB\)vuông tại H ta có:
\(AH^2+BH^2=AB^2\)( định lý Py-ta-go) (2)
\(AH^2+HC^2=AC^2\)( định lý Py-ta-go) (3)
Thay (2) và (3) vào (1) ta có:
\(2AH^2+BH^2+HC^2=BC^2\)
\(\Leftrightarrow2AH^2+BH^2+HC^2=\left(BH+HC\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2AH^2+BH^2+HC^2=BH^2+HC^2+2.BH.HC\)
\(\Leftrightarrow2AH^2=2.BH.HC\)
\(\Leftrightarrow AH^2=BH.HC\) (4)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{BH.HC}\) (5)
Thay (4) vào (3) ; (2) ta có:
\(\hept{\begin{cases}BH.HC+BH^2=AB^2\\BH.HC+HC^2=AC^2\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}BH.\left(HC+BH\right)=AB^2\\HC.\left(BH+HC\right)=AC^2\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{AB^2}=\frac{1}{BH.\left(HC+BH\right)}=\frac{1}{BH.BC}\\\frac{1}{AC^2}=\frac{1}{HC.\left(BH+HC\right)}=\frac{1}{BH.BC}\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}=\frac{1}{BH.BC}+\frac{1}{HC.BC}=\frac{BH+HC}{BH.BC.HC}=\frac{BC}{BH.BC.HC}=\frac{1}{BH.HC}\)(6)
Từ (5) và (6)
\(\Rightarrow\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}\)
đpcm