Xét tam giác OBM và tam giác OAB có: chung chiều cao hạ từ đỉnh O xuống AB; đáy BM = \(\frac{3}{4}\) đáy AB
=> SOBM = \(\frac{3}{4}\)SOAB (1)
Xét tam giác OAN và tam giác ONC có : chung chiều cao xuất phát từ O xuống cạnh AC; đáy AN = \(\frac{1}{2}\)đáy NC
=> SOAN = \(\frac{1}{2}\)SONC
Mặt khác, xét tam giác OAN và tam giác ONC có chung đáy ON
=> h = \(\frac{1}{2}\) x k
+) Xét tam giác OAB và OBC có: chung đáy đáy OB; chiều cao h = \(\frac{1}{2}\) chiều cao k
=> SOAB = \(\frac{1}{2}\)SOBC (2)
Từ (1)(2) => SOBM = \(\frac{3}{4}\) x \(\frac{1}{2}\) SOBM = \(\frac{3}{8}\)SOBC
=> SOBM = \(\frac{3}{11}\)SMBC = \(\frac{3}{11}\)x \(\frac{3}{4}\)SABC = \(\frac{9}{44}\) SABC
Mà SAOB = \(\frac{4}{3}\)SOBM = \(\frac{4}{3}\)x \(\frac{9}{44}\) = \(\frac{3}{11}\)x SABC
Tương tự; có SAOC = \(\frac{2}{11}\)SABC
=> SAOB : SOAC = \(\frac{3}{11}\): \(\frac{2}{11}\) = \(\frac{3}{2}\)
Mà 2 tam giác này chung đáy OA => chiều cao hạ từ B cuống AO : chiều cao hạ từ C xuống OA = 3: 2
=> SOBD : SODC = 3: 2 (Vì chung đáy OD)
=> BD : DC= 3: 2 (do tam giác OBD và ODCchung chiều cao hạ từ O xuống BC)
Có cách ngắn gọn hơn như sau:
SOAN / AOCN = 1/2 (chung đường cao hạ từ O)
=> h/k = 1/2 (Vì SOAN = 1/2 SONC và chung đáy ON)
=> SOAB / SOBC = 1/2 (vì chung đáy OB và đường cao h/k = 1/2)
=> SOAB = 1/2 SOBC (1)
Tương tự: SOAC = 1/3 SOBC (2)
(1) và (2) => SOAB / SOAC = 1/2 : 1/3 = 3/2
=> Đường cao hạ từ B xuống AD / Đường cao hạ từ C xuống AD = 3/2 (vì hai tam giác OAB và OAC chung đáy OA)
=> SOBD / SODC = 3/2 (vì chung đáy OD và hai đường cao tương ứng tỉ lệ với 3 và 2)
=> BD / DC = 3/2 (vì hai tam giac OBD và OCD chung đường cao hạ từ O)