Câu hỏi của Giang Nguyen

Question

Cho tam giác ABC, O là điểm cách đều ba cạnh. Trên tia BC lấy điểm M sao cho BM=BA. Trên tia CB lấy điểm N sao cho CN=CA. Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu của O trên BC, CA, AB. Chứng minh rằng:

a) NE=MF.

b)Tam giác MON là tam giác cân.

BuBu siêu moe 방탄소년단 · Accepted Answer

a) Vì O lầ điểm cách đều 3 cạnh của $\Delta ABC$ nên:+) $OD=OE=OF$+) $AO$, $BO$ và $CO$ là 3 đường phân giác của $\Delta ABC$Xét $\Delta BFO$ và $\Delta BDO$ có:$\widehat{BFO}$=$\widehat{BDO}$=90o$BO$ chung$OF=OD$ (CMT)$\Rightarrow\Delta BFO=\Delta BDO$ (ch-cgv)$\Rightarrow BF=BD$$\Rightarrow\Delta BFD$ cân tại $B$$\Rightarrow\widehat{BFD}$=$\widehat{BDF}$= ( $180^o$- $\widehat{FBD}$) : 2 $\left(1\right)$Vì $BA=BM$ (gt) nên $\Delta BAM$ cân tại $B$$\Rightarrow\widehat{BAM}$=$\widehat{BMA}$= ($180^o$-$\widehat{ABM}$) : 2 $\left(2\right)$Từ $\left(1\right)$ và $\left(2\right)$ $\Rightarrow\widehat{BFD}$=$\widehat{BAM}$ mà chúng ở vị trí đồng vị nên $DF$//$AM$$\Rightarrow$ Tứ giác $AFDM$ là hình thang $\left(3\right)$Từ $\left(2\right)$ và $\left(3\right)$ $\Rightarrow$ $AFDM$ là hình thang cân                     $\Rightarrow$ $MF=AD$ $\left(4\right)$CM tương tự ta được: $AEDN$ là hình thang cân                               $\Rightarrow$ $NE=AD$ $\left(5\right)$Từ $\left(4\right)$ và $\left(5\right)$ $\Rightarrow MF=NE$b) Xét $\Delta ODM$ và $\Delta OFA$ có:$OD=OF$ (CMT)$\widehat{ODM}$=$\widehat{OFA}$=$90^o$$OM=FA$ ($AFDM$ là hình thang cân)$\Rightarrow\Delta ODM=\Delta OFA$ (c.g.c)$\Rightarrow OM=OA\left(6\right)$CM tương tự ta được $\Delta ODN=\Delta OEA$ (c.g.c)                             $\Rightarrow$$ON=OA$ $\left(7\right)$Từ $\left(6\right)$ và $\left(7\right)$ $\Rightarrow OM=ON$                        $\Rightarrow$ $\Delta MON$ cân tại $O$​​Mình biết bài này là từ 2019 rồi nhưng mà đề này mình thấy chưa ai làm nên mình làm để có bạn nào tìm thì sẽ có để tham khảo. Câu trả lời: a) Vì O lầ điểm cách đều 3 cạnh của $\Delta ABC$ nên:+) $OD=OE=OF$+) $AO$, $BO$ và $CO$ là 3 đường phân giác của $\Delta ABC$Xét $\Delta BFO$ và $\Delta BDO$ có:$\widehat{BFO}$=$\widehat{BDO}$=90o$BO$ chung$OF=OD$ (CMT)$\Rightarrow\Delta BFO=\Delta BDO$ (ch-cgv)$\Rightarrow BF=BD$$\Rightarrow\Delta BFD$ cân tại $B$$\Rightarrow\widehat{BFD}$=$\widehat{BDF}$= ( $180^o$- $\widehat{FBD}$) : 2 $\left(1\right)$Vì $BA=BM$ (gt) nên $\Delta BAM$ cân tại $B$$\Rightarrow\widehat{BAM}$=$\widehat{BMA}$= ($180^o$-$\widehat{ABM}$) : 2 $\left(2\right)$Từ $\left(1\right)$ và $\left(2\right)$ $\Rightarrow\widehat{BFD}$=$\widehat{BAM}$ mà chúng ở vị trí đồng vị nên $DF$//$AM$$\Rightarrow$ Tứ giác $AFDM$ là hình thang $\left(3\right)$Từ $\left(2\right)$ và $\left(3\right)$ $\Rightarrow$ $AFDM$ là hình thang cân                     $\Rightarrow$ $MF=AD$ $\left(4\right)$CM tương tự ta được: $AEDN$ là hình thang cân                               $\Rightarrow$ $NE=AD$ $\left(5\right)$Từ $\left(4\right)$ và $\left(5\right)$ $\Rightarrow MF=NE$b) Xét $\Delta ODM$ và $\Delta OFA$ có:$OD=OF$ (CMT)$\widehat{ODM}$=$\widehat{OFA}$=$90^o$$OM=FA$ ($AFDM$ là hình thang cân)$\Rightarrow\Delta ODM=\Delta OFA$ (c.g.c)$\Rightarrow OM=OA\left(6\right)$CM tương tự ta được $\Delta ODN=\Delta OEA$ (c.g.c)                             $\Rightarrow$$ON=OA$ $\left(7\right)$Từ $\left(6\right)$ và $\left(7\right)$ $\Rightarrow OM=ON$                        $\Rightarrow$ $\Delta MON$ cân tại $O$​​Mình biết bài này là từ 2019 rồi nhưng mà đề này mình thấy chưa ai làm nên mình làm để có bạn nào tìm thì sẽ có để tham khảo.

Khoá học trên OLM (olm.vn)

Khoá học trên OLM (olm.vn)