a) Ta có: \((\sin A+\cos A)^2=\sin^2 A+2\sin A.\cos A+\cos^2 A\)
Do \(2\sin a.\cos a>0\) nên \((\sin A+\cos A)^2>\sin^2 A+\cos^2 A\)
\(\Rightarrow\) \((\sin A+\cos A)^2>1\)
\(\Rightarrow\) \(\left[{}\begin{matrix}\sin a+\cos a>1\\\sin a+\cos a< -1\end{matrix}\right.\) mà \(\sin A+\cos A>0\)
\(\Rightarrow\) \(\sin a+\cos a>1\) (đpcm)
b) Kẻ đường cao CF của tam giác ABC.
Ta có: \({S}_{ABC}=\dfrac{1}{2}.CF.AB\) (1)
Xét tam giác ACF vuông ở F có: \(\sin A=\dfrac{CF}{AC}\) \(\Rightarrow\) \(CF=AC.\sin A\) (2)
Từ (1), (2) suy ra: \({S}_{ABC}=\dfrac{1}{2}.AB.AC.\sin A\) (đpcm)
c) Tam giác AHC vuông tại H có \(\widehat{C}=45^o\) \(\Rightarrow\) Tam giác AHC vuông cân tại H
\(\Rightarrow\) \(AH=HC=6cm\)
Xét tam giác ABH vuông tại H có: \(\tan B=\dfrac{AH}{BH}=\dfrac{6}{BH}\) \(\Rightarrow\) \(\dfrac{6}{BH}=\sqrt{3}\) \(\Rightarrow\) \(BH=2\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow\) \(BC=BH+HC=6+2\sqrt{3}\)
Ta có: \({S}_{ABC}=\dfrac{1}{2}.AH.BC=\dfrac{1}{2}.6.(6+2\sqrt{3})=18+6\sqrt{3}\) \((cm^2)\)