Hình vẽ:
Giải:
a) Xét tam giác ABN và tam giác ACM, ta có:
\(AB=AC\left(gt\right)\)
\(\widehat{A}\) chung
\(AN=AM\left(gt\right)\)
\(\Rightarrow\Delta ABN=\Delta ACM\left(c.g.c\right)\)
\(\Rightarrow BN=CM\) (Hai cạnh tương ứng)
b) Có:
\(\widehat{AMC}+\widehat{CMB}=180^0\) (Hai góc kề bù)
và \(\widehat{ANB}+\widehat{BNC}=180^0\)
Mà \(\widehat{AMC}=\widehat{ANB}\) (\(\Delta ABN=\Delta ACM\))
\(\widehat{CMB}=\widehat{BNC}\)
Lại có:
\(MB=AB-AM\) và \(NC=AC-AN\)
Mà \(\left\{{}\begin{matrix}AB=AC\left(gt\right)\\AM=AN\left(\Delta ABN=\Delta ACM\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow MB=NC\)
Xét tam giác BIM và tam giác CIN, có:
\(\widehat{CMB}=\widehat{BNC}\) (Chứng minh trên)
\(\widehat{ACM}=\widehat{ABN}\) (\(\Delta ABN=\Delta ACM\))
\(MB=MC\) (Chứng minh trên)
\(\Rightarrow\Delta BIM=\Delta CIN\left(g.c.g\right)\)
c) Xét tam giác AIM và tam giác AIN, có:
\(AM=AN\) (gt)
AI chung
\(MI=NI\) (\(\Delta BIM=\Delta CIN\))
\(\Rightarrow\Delta AIM=\Delta AIN\left(c.c.c\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\) (Hai góc tương ứng)
=> AI là tia phân giác của \(\widehat{A}\)
d) Ta có: \(AB=AC (gt)\)
=> Tam giác ABC cân tại A
Mà AI là tia phân giác của \(\widehat{A}\)
Nên AI đồng thời là đường cao của tam giác ABC
\(\Leftrightarrow AI\perp BC\)
e) Có: \(AM=AN\left(gt\right)\)
=> Tam giác AMN cân tại A
Mà tam giác ABC cân tại A
Nên \(\widehat{AMN}=\widehat{ABC}\)
=> MN//BC (Vì có hai góc đồng vị bằng nhau)