Question

Cho tam giác ABC có AB=6cm,AC-8cm,BC=10cm.Gọi k là trung điểm của đoạn thẳng BC,đường trung trực của đoạn thẳng BC cắt cạnh AC tại M.Gọi D là hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng BM.Chứng minh rằng

a)Tam giác ABC vuông tại A

b)AB=DC

c)ba đường thẳng AB,MK,CD cùng đi qua một điểm

Answer 1

a) Ta có \(BC^2=10^2=100\)

\(AB^2+AC^2=6^2+8^2=100\)

\(\Rightarrow BC^2=AB^2+AC^2\Rightarrow\Delta ABC\) vuông tại \(A\)

b) Xét \(\Delta BMK\) và \(\Delta CMK\) có:

\(\widehat{BKM}=\widehat{CKM}=90^0\) (gt)

\(BK=CK\) (gt)

\(KM\) chung

\(\Rightarrow\Delta BKM=\Delta CKM\) (c.g.c) \(\Rightarrow BM=CM\)

Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta DCM\) có:

\(\widehat{A}=\widehat{D}=90^0\)

\(MB=MC\) (đã chứng minh)

\(\widehat{AMB}=\widehat{DMC}\) (hai góc đối đỉnh)

\(\Rightarrow\Delta ABM=\Delta DCM\) (ch-gn) \(\Rightarrow AB=DC\) (hai cạnh tương ứng)

c) Gọi \(AB\cap CD=I\)

Tam giác \(IBC\) có \(\left\{{}\begin{matrix}CA\perp BI\\BD\perp CI\\CA\cap BD=M\end{matrix}\right.\Rightarrow M\) là trực tâm tam giác \(BCI\)

\(\Rightarrow IM\perp BC\) mà \(KM\perp BC\Rightarrow I\in KM\)

Vậy \(AB,CD,KM\) đồng quy tại \(I\)