Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn và AB<AC. Đường tròn tâm O đường kính BC cắt nhau tại cạnh AB, AC theo thứ tự E và D
a. CM AD. AC=AE.AB
b. Gọi H là giao điểm của BD và CE, gọi K là giao điểm của AH và BC. CM AH vuông góc với BC
c. Từ A kẻ các tiếp tuyến AM, AN đến đường tròn (O) với M.N là các tiếp điểm. CM góc ANM = góc AKN
d. Cm 3 điểm M, H, N thẳng hàng
a: Xét (O) có
ΔBDC nội tiếp
BC là đường kính
Do đó: ΔBDC vuông tại D
hay BD vuông góc với AC
Xét (O) có
ΔCEB nội tiếp
CB là đường kính
Do đó: ΔCEB vuông tại E
hay CE vuông góc với AB
Xét ΔADB vuông tại D và ΔAEC vuông tại E có
góc EAC chung
Do đó; ΔADB\(\sim\)ΔAEC
Suy ra: AD/AE=AB/AC
hay \(AD\cdot AC=AE\cdot AB\)
b: Xét ΔABC có
BD là đường cao
CE là đường cao
BD cắt CE tại H
Do đó: H là trực tâm
=>AK vuông góc với BC
c: Xét tứ giác AMON có
\(\widehat{AMO}+\widehat{ANO}=180^0\)
nên AMON là tứ giác nội tiếp(1)
Xét tứ giác AKON có \(\widehat{AKO}+\widehat{ANO}=180^0\)
nên AKON là tứ giác nội tiếp(2)
Từ (1) và (2) suy ra A,M,K,O,N cùng thuộc một đường tròn
Vì \(\widehat{AMO}=\widehat{AKO}=\widehat{ANO}=90^0\)
nên A,M,K,O,N nội tiếp đường tròn đường kính AO
Xét (AO/2) có
\(\widehat{ANM}\) là góc nội tiếp chắn cung AM
\(\widehat{AKN}\) là góc nội tiếp chắn cung AN
\(sđ\stackrel\frown{AM}=sđ\stackrel\frown{AN}\)
Do đó; \(\widehat{ANM}=\widehat{AKN}\)