a)
\(cosA=\sqrt{cosA^2}=\sqrt{\frac{AF}{AB}\cdot\frac{AE}{AC}}=\sqrt{\frac{AF}{AC}\cdot\frac{AE}{AB}}\le\frac{\frac{AF}{AC}+\frac{AE}{AB}}{2}\)(BDT AM-GM)
Tương tự ta có:
\(cosB\le\frac{\frac{BE}{BA}+\frac{BD}{BC}}{2};cosC\le\frac{\frac{CD}{CB}+\frac{CF}{CA}}{2}\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{\frac{CF+AF}{AC}+\frac{AE+BE}{AB}+\frac{BD+DC}{BC}}{2}=\frac{1+1+1}{2}=\frac{3}{2}\)
Cách khác
CHo Tam giác ABC, M là 1 điểm bất kì nằm trong tam giác
Đặt x1=MA;x2=MB;x3=MC và p1;p2;p3 lần lượt là khoảng cách từ M đến BC,CA,AB tương ứng. Khi đó ta có BĐT \(x_1+x_2+x_3\ge2\left(p_1+p_2+p_3\right)\)
Vận dụng giải bài trên:
Gọi O,R là tâm và bán kính đg tròng ngoại tiếp Tam giá ABC
Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của cạnh AB,BC,CA
Dễ thấy \(^{\widehat{A}=\widehat{MOB}}\).Do đó:
\(cosA=cos\left(\widehat{MOB}\right)=\frac{OM}{OB}=\frac{OM}{R}\)
tương tự \(cosB=\frac{ON}{R};cosC=\frac{OP}{R}\)
Do đó \(cosA+cosB+cosC=\frac{OM+ON+OP}{T}\le\frac{1}{2}\left(\frac{OA+OB+OC}{R}\right)=\frac{3}{2}\) (BĐT erdos-mordell )
Dấu "=" khi tam giác ABC đều
thank nha thắng .. cậu lm ra câu b chưa