Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BC lấy điểm M, trên tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho BM=CN.
a) Chứng minh tam giác AMN cân
b) Kẻ BE vuông góc với AM (E thuộc AM), CF vuông góc với AN (F thuộc AN). Chứng minh tam giác BME= tam giác CNF.
c) EB và FC kéo dài cắt nhau tại O. Chứng minh AO là tia phân giác của góc MAN.
d) Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với AM, qua N kẻ đường thẳng vuông góc với AN, chúng cắt nhau ở H. Chứng minh ba điểm A, O, H thẳng hàng.
( Hình bạn tự vẽ giúp mình nha )
a) Xét △ ABM và △ ACN có
AB = AC
BM = CN
\(\widehat{ABM}=\widehat{ACN}\)
⇒ △ ABM = △ ACN ( c - g - c )
⇒ AM = AN ( hai cạnh tương ứng )
Suy ra: △ AMN cân tại A
b) Xét tam giác vuông BME và tam giác vuông CNF ta có:
MB = CN
\(\widehat{EMB}=\widehat{CNF}\) ( vì △ AMN cân tại A )
⇒ △ BME = △ CNF ( ch - gn )
c) Vì △ BME = △ CNF ( cmt )
⇒ ME = CF
⇒ EA = FA
Xét tam giác vuông EAO và tam giác vuông AOF ta có:
AE = FA
AO cạnh chung
⇒ △ EOA = △ FOA ( ch - cgv )
⇒ \(\widehat{EAO}=\widehat{FAO}\)
Hay AO là tia phân giác góc \(\widehat{MAN}\)
d) Ta có: EO ⊥ AM
MH ⊥ AM
⇒ EO // MH
Lại có: \(\widehat{AOE}=\widehat{AHM}\) ( cùng phụ \(\widehat{EAO}\) )
Từ đó suy ra: A, O, H thẳng hàng
