a) Xét ΔADB và ΔADC có
AB=AC(ΔABC cân tại A)
\(\widehat{BAD}=\widehat{CAD}\)(AD là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\))
AD chung
Do đó: ΔADB=ΔADC(c-g-c)
b) Ta có: AB=AC(ΔABC cân tại A)
nên A nằm trên đường trung trực của BC(tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(1)
Ta có: ΔADB=ΔADC(cmt)
⇒DB=DC(hai cạnh tương ứng)
hay D nằm trên đường trung trực của BC(tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(2)
Từ (1) và (2) suy ra AD là đường trung trực của BC(đpcm)
c) Xét ΔKBD vuông tại K và ΔECD vuông tại E có
BD=CD(cmt)
\(\widehat{KBD}=\widehat{ECD}\)(hai góc ở đáy của ΔABC cân tại A)
Do đó: ΔKBD=ΔECD(cạnh huyền-góc nhọn)
⇒DK=DE(hai cạnh tương ứng)
Xét ΔDKE có DK=DE(cmt)
nên ΔDKE cân tại D(định nghĩa tam giác cân)
d) Ta có: ΔABC cân tại A(gt)
⇒\(\widehat{ABC}=\frac{180^0-\widehat{A}}{2}\)(số đo của một góc ở đáy trong ΔABC cân tại A)(3)
Xét ΔKAD vuông tại K và ΔEAD vuông tại E có
AD là cạnh chung
DK=DE(cmt)
Do đó: ΔKAD=ΔEAD(cạnh huyền-cạnh góc vuông)
⇒AK=AE(hai cạnh tương ứng)
Xét ΔAKE có AK=AE(cmt)
nên ΔAKE cân tại A(định nghĩa tam giác cân)
⇒\(\widehat{AKE}=\frac{180^0-\widehat{A}}{2}\)(số đo của một góc ở đáy trong ΔAKE cân tại A)(4)
Từ (3) và (4) suy ra \(\widehat{AKE}=\widehat{ABC}\)
mà \(\widehat{AKE}\) và \(\widehat{ABC}\) là hai góc ở vị trí đồng vị
nên KE//BC(dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)