Question

Cho tam giác ABC cân tại A, kẻ BH ⊥ AC. Gọi D là một điểm thuộc cạnh đáy BC. Kẻ DE ⊥ AC, DF ⊥ AB.

Chứng minh rằng DE + DF = BH

Answer 1

Kẻ DK ⊥ BH

Ta có: BH ⊥AC(gt)

Suy ra: DK // AC (hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song)

⇒ ∠KDB = ∠C (hai góc đồng vị)

VìΔABC cân tại A nên ∠B = ∠C (tính chất tam giác cân)

Suy ra: ∠KDB = ∠B

Xét hai tam giác vuông BFD và DKB, ta có:

∠BFD = ∠DKB = 90o

BD cạnh huyền chung

∠FBD = ∠KDB (chứng minh trên)

Suy ra:ΔBFD=ΔDKB (cạnh huyền góc nhọn)

⇒ DF = BK (hai cạnh tương ứng)(1)

Nối DH. Xét ΔDEH và ΔHKD, ta có:

∠DEH = ∠DKH = 90o

DH cạnh huyền chung

∠EHD = ∠KDH (hai góc so le trong)

Suy ra:ΔDEH = ΔDKH( cạnh huyền , góc nhọn)

Suy ra: DE = HK ( hai cạnh tương ứng) (2)

Mặt khác: BH = BK + KH (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: DF + DE = BH