Question

Cho tam giác ABC cân tại A có các đường cao BD và CE cắt nhau tại H.

a) AH là phân giác của góc BAC 

b,ED//BC
c,Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh 3 đường thẳng HM, BE, CD đồng quy tại một điểm

Answer 1

a) \(\Delta ABC\) có BD, CE là 2 đường cao cắt nhau tại H nên H là trực tâm => AH là đường cao => \(AH\perp BC\)

\(\Delta ABC\) cân tại A nên AH là đường cao đồng thời là đường phân giác của \(\widehat{BAC}\)

b) BD, CE là đường cao của \(\Delta ABC\) nên \(BD\perp AC,CE\perp AB\Rightarrow\widehat{BDA}=90^o,\widehat{CEA}=90^o\)

Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta ACE\) có: 

AB = AB (\(\Delta ABC\) cân tại A)

\(\widehat{BDA}=\widehat{CEA}=90^o\) 

\(\widehat{A}\) chung 

Nên \(\Delta ABD=\Delta ACE\left(g-c-g\right)\) \(\Rightarrow AD=AE\)

AB = AC nên \(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AD}{AE}\)

Do đó ED//BC (định lý Thales đảo)

c) M là trung điểm BC nên AM là trung tuyến của \(\Delta ABC\). \(\Delta ABC\) cân tại A nên AM vừa là trung tuyến vừa là đường cao. Do đó AH, AM trùng nhau => A, M, H thẳng hàng => Đường thẳng HM đi qua A. BE, CD cắt nhau tại A nên HM, BE, CD đồng quy tại điểm A