Gọi `3x,2x(cm) (x \in NN^(**))` là độ dài của `AB,AC`.
Áp dụng hệ thức lượng:`
`1/(AH^2)=1/(AB^2)+1/(AC^2)`
`<=>1/(36^2)=1/(9x^2)+1/(4x^2)`
`<=>` \(\left[{}\begin{matrix}x=0\left(L\right)\\x=6\sqrt{13}\left(TM\right)\end{matrix}\right.\)
`=> AB=18\sqrt13 (cm) ; AC = 12\sqrt13 (cm)`
Áp dụng định lý Pitago:
`BC^2=AB^2+AC^2`
`<=>BC=7(cm)`
Áp dụng hệ thức lượng:
`AB^2=BH.BC`
`=> BH=54(cm)`
`=> CH=BC-BH=24 (cm)`
Vậy `BH=54cm ; CH=24cm`.
Ta có: \(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{3}{2}\)
nên \(AB=\dfrac{3}{2}AC\)
Xét ΔABC vuông tại A có
\(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{36^2}=\dfrac{1}{\left(\dfrac{3}{2}AC\right)^2}+\dfrac{1}{AC^2}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{13}{9}\cdot\dfrac{1}{AC^2}=\dfrac{1}{1296}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{AC^2}=\dfrac{1}{1872}\)
\(\Leftrightarrow AC^2=1872\)
hay \(AC=12\sqrt{13}\)(cm)
Ta có: \(AB=\dfrac{3}{2}\cdot AC\)
nên \(AB=\dfrac{3}{2}\cdot12\sqrt{13}=18\sqrt{13}\left(cm\right)\)
Áp dụng định lí Pytago vào ΔABH vuông tại H, ta được:
\(AB^2=AH^2+BH^2\)
\(\Leftrightarrow BH^2=\left(18\sqrt{13}\right)^2-36^2=2916\)
hay BH=54(cm)
Xét ΔABC vuông tại A có
\(AH^2=HB\cdot HC\)
\(\Leftrightarrow HC=\dfrac{AH^2}{BH}=\dfrac{36^2}{54}=24\left(cm\right)\)
Vậy: BH=54cm; CH=24cm