Question

Cho \(T=3+3^2+3^3+......+3^{99}\)

a, Tìm n thuộc N biết \(2T+3=3^{2n}\)

b,CMR \(4A+25\)là 1 lũy thừa của 5

Với \(A=5^2+5^3+....+5^{2012}\)

c,Cho \(C=1+4+4^2+......+4^{100}\)và \(B=4^{101}\)

CMR \(C< \frac{B}{3}\)

Answer 1

\(T=3+3^2+3^3+...+3^{99}\)

\(\Rightarrow3T=3^2+3^3+3^4+....+3^{100}\)

\(\Rightarrow3T-T=\left(3^2+3^3+3^4+...+3^{100}\right)-\left(3+3^2+3^3+....+3^{99}\right)\)

\(\Rightarrow2T=3^{100}-3\)

\(\Rightarrow2T+3=3^{2n}=2.\frac{3^{100}-3}{2}+3=3^{2n}\)

\(\Rightarrow3^{100}-3+3=3^x\)

\(\Rightarrow3^{100}=3^x\)

\(\Rightarrow x=100\)

Answer 2

a)3T=3(3+3²+...+3⁹⁹)

3T=3²+3³+...+3¹⁰⁰

3T-T=(3²+3³+...+3¹⁰⁰)-(3+3²+...+3⁹⁹)

2T=3¹⁰⁰-3.THay vào ta được 3¹⁰⁰-3+3=3²ⁿ

=>3¹⁰⁰=3²ⁿ =>100=2n =>n=50

b)5A=5(5²+5³+...+5²⁰¹²)

5A=5³+5⁴+...+5²⁰¹³

5A-A=(5³+5⁴+...+5²⁰¹³)-(5²+5³+...+5²⁰¹²)

4A=5²⁰¹³-5².Thay vào ta được :5²⁰¹³-5²+25=5²⁰¹³ là 1 lũy thừa của 5

-->Đpcm

c)4C=4(1+4+...+4¹⁰⁰)

4C=4+4²+...+4¹⁰¹

4C-C=(4+4²+...+4¹⁰¹)-(1+4+...+4¹⁰⁰)

3C=4¹⁰¹-1 suy ra \(C=\frac{4^{101}-1}{3}\).Với \(\frac{B}{3}=\frac{4^{101}}{3}>\frac{4^{101}-1}{3}=C\)

-->Đpcm