Question

cho : \(\sqrt{x+2}-y^3=\sqrt{y+2}-x^3\) và \(M=2y-2y^2+2xy+x^2+2018\)

tìm min của M

Answer 1

Đk:\(x\ne-2;y\ne-2\)

Xét \(\sqrt{x+2}-y^3=\sqrt{y+2}-x^3\)

\(\Rightarrow x^3-y^3+\sqrt{x+2}-\sqrt{y+2}=0\)

\(\Rightarrow\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)+\dfrac{x-y}{\sqrt{x+2}+\sqrt{y+2}}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2+\dfrac{1}{\sqrt{x+2}+\sqrt{y+2}}\right)\)

Dễ thấy: Với mọi \(x;y\ge-2\) thì \(x^2+xy+y^2+\dfrac{1}{\sqrt{x+2}+\sqrt{y+2}}>0\)

\(\Rightarrow x-y=0\Rightarrow x=y\). Thay vào M có:

\(M=x^2+2x+2018=\left(x+1\right)^2+2017\ge2017\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=-1\)

Answer 2

bài này kq đẹp phết =2017 . cách khác xét

f(t) = t^3 +can(t+2) đi nó đồng biến đó :))