Tách thành hai nhóm. Nhóm gồm 5 phân số có mẫu là các số chẵn và nhóm còn lại gồm 5 phân số có các mẫu số là số lẻ, đánh giá theo các nhóm đó. Ta có:
\(S=\frac{2}{10}+\frac{2}{11}+...+\frac{2}{19}=\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+...+\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{2}{11}+\frac{2}{13}+...+\frac{2}{19}\right)< \frac{5}{5}+\frac{10}{11}< 2.\)
\(S=\frac{2}{10}+\frac{2}{11}+\frac{2}{12}+...+\frac{2}{19}=\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+...+\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{2}{11}+\frac{2}{13}+...+\frac{2}{19}\right)>\frac{5}{9}+\frac{10}{19}>1.\)
Như vậy: 1< S < 2 Nghĩa là S không phải là số tự nhiên
\(S=\frac{2}{10}+\frac{2}{11}+...+\frac{2}{19}=\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+...+\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{2}{11}+\frac{2}{13}+...+\frac{2}{19}\right)< \frac{5}{5}+\frac{10}{11}< 2.\)\(S=\frac{2}{10}+\frac{2}{11}+...+\frac{2}{19}=\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+...+\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{2}{11}+\frac{2}{13}+...+\frac{2}{19}\right)< \frac{5}{5}+\frac{10}{11}< 2.\)\(S=\frac{2}{10}+\frac{2}{11}+...+\frac{2}{19}=\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+...+\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{2}{11}+\frac{2}{13}+...+\frac{2}{19}\right)< \frac{5}{5}+\frac{10}{11}< 2.\)\(S=\frac{2}{10}+\frac{2}{11}+...+\frac{2}{19}=\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+...+\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{2}{11}+\frac{2}{13}+...+\frac{2}{19}\right)< \frac{5}{5}+\frac{10}{11}< 2.\)\(S=\frac{2}{10}+\frac{2}{11}+...+\frac{2}{19}=\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+...+\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{2}{11}+\frac{2}{13}+...+\frac{2}{19}\right)< \frac{5}{5}+\frac{10}{11}< 2.\)\(S=\frac{2}{10}+\frac{2}{11}+...+\frac{2}{19}=\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+...+\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{2}{11}+\frac{2}{13}+...+\frac{2}{19}\right)< \frac{5}{5}+\frac{10}{11}< 2.\)\(S=\frac{2}{10}+\frac{2}{11}+...+\frac{2}{19}=\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+...+\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{2}{11}+\frac{2}{13}+...+\frac{2}{19}\right)< \frac{5}{5}+\frac{10}{11}< 2.\)
