Xét phương trình (1) có \(\Delta=4m^2-4\left(2m-1\right)\)
= \(4m^2-8m+4=\left(2m-2\right)^2\)
Ta luôn có \(\left(2m-2\right)^2\ge0\) với mọi m
\(\Rightarrow\Delta\ge0\) với mọi m
\(\Rightarrow\) phương trình luôn có nghiệm với mọi m
Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m\\x_1.x_2=2m-1\end{matrix}\right.\) (2)
* Xét TH1: \(x_1=2x_2\)
Ta có: (2) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x_2=2m\\2x_2^2=2m-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_2=\dfrac{2m}{3}\\\dfrac{8m^2}{9}=2m-1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_2=\dfrac{2m}{3}\\8m^2-18m+9=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_2=\dfrac{2m}{3}\\\left(2m-3\right)\left(4m-3\right)=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_2=\dfrac{2m}{3}\\\left[{}\begin{matrix}m=\dfrac{3}{2}\\m=\dfrac{3}{4}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
* Xét TH2: \(x_2=2x_1\)
Ta có (2) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x_1=2m\\2x_1^2=2m-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{2m}{3}\\\dfrac{8m^2}{9}=2m-1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{2m}{3}\\8m^2-18m+9=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{2m}{3}\\\left(2m-3\right)\left(4m-3\right)=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{2m}{3}\\\left[{}\begin{matrix}m=\dfrac{3}{2}\\m=\dfrac{3}{4}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
Vậy với \(m=\dfrac{3}{2},m=\dfrac{3}{4}\) thì phương trình (1) có nghiệm này bằng 2 lần nghiệm kia