Question

cho phương trình \(x^2-\left(2m+5\right)x+2m-1=0\)

Tìm m để phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt \(x1,x2\) sao cho \(P=\left|\sqrt{x1}-\sqrt{x2}\right|\)đạt min

Answer 1

Để pt có 2 nghiệm dương pb:

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta=\left(2m+5\right)^2-4\left(2m-1\right)>0\\x_1+x_2=2m+5>0\\x_1x_2=2m-1>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m>\frac{1}{2}\)

\(P=\left|\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2}\right|\Leftrightarrow P^2=x_1+x_2-2\sqrt{x_1x_2}\)

\(\Rightarrow P^2=2m+5-2\sqrt{2m-1}=2m-1-2\sqrt{2m-1}+1+4\)

\(\Rightarrow P^2=\left(\sqrt{2m-1}-1\right)^2+4\ge4\)

\(\Rightarrow P\ge2\Rightarrow P_{min}=2\) khi \(\sqrt{2m-1}=1\Leftrightarrow m=1\)