Cho phương trình:
\(x^2-2x+m=0\)
a. CMR với mọi m thì phương trình đã cho không thể có 2 nghiệm cùng âm.
b. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm \(x_1,x_2\) thỏa mãn: \(x_1-2x_2=5\)
a) Xét \(\Delta'=1-m\)
Để phương trình có 2 nghiệm cùng âm thì \(\left\{{}\begin{matrix}\Delta'\ge0\\S< 0\\P>0\end{matrix}\right.\)
hay \(\left\{{}\begin{matrix}1-m\ge0\\2< 0\\m>0\end{matrix}\right.\)( vô lí)
Từ đó suy ra P. trình không có 2 nghiệm cùng âm \(\forall m\) _đpcm
b) Để p. trình có 2 nghiệm x1 ;x2 thì \(\Delta'=1-m\ge0\) \(\Leftrightarrow m\le1\)
Khi đó theo hệ thức Vi-ét ta có \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(1\right)\\x_1x_2=m\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
Lại có \(x_1-2x_2=5\left(3\right)\)
Giải hệ gồm (1) và (3) ta tìm được \(x_1=3;x_2=-1\). Thay vào (2)
ta tìm được m=-3
Câu a :Theo định lý vi-et ta có :
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\\x_1.x_2=m\end{matrix}\right.\)
........................................
Câu b : Ta có :
\(\Delta=\left(-2\right)^2-4m=4-4m\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{2+\sqrt{4-4m}}{2}=1+\sqrt{1-m}\\x_2=\dfrac{2-\sqrt{4-4m}}{2}=1-\sqrt{1-m}\end{matrix}\right.\)
Từ đề bài ta có : \(x_1-2x_2=5\)\(\Rightarrow\left(1+\sqrt{1-m}\right)-2\left(1-\sqrt{1-m}\right)=5\)
\(\Leftrightarrow1+\sqrt{1-m}-2+2\sqrt{1-m}=5\)
\(\Leftrightarrow3\sqrt{1-m}=6\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{1-m}=2\)
\(\Leftrightarrow1-m=4\)
\(\Leftrightarrow m=-3\)
Vậy \(m=-3\)