c, Với x\(_1\) = 2x\(_2\) thì :
x\(_1\) + x\(_2\) = 2m \(\Leftrightarrow\) 2x\(_2\) + x\(_2\) = 2m \(\Leftrightarrow\) x\(_2\) = \(\frac{2m}{3}\) \(\Rightarrow\) x\(_1\) = 2x\(_2\) = \(\frac{4m}{3}\)
Mà x\(_1\)x\(_2\) = 2m - 1
\(\Leftrightarrow\) \(\frac{4m}{3}\) * \(\frac{2m}{3}\) = 2m - 1 \(\Leftrightarrow\) \(\frac{8m^2}{9}\) = 2m - 1 \(\Leftrightarrow\) 8m\(^2\) = 18m - 9 \(\Leftrightarrow\) 8m\(^2\) - 18m + 9 = 0 (2) \(\Delta\)' = 9\(^2\) - 8*9 = 9 > 0 Vì \(\Delta\)' > 0 nên phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt : m\(_3\) = \(\frac{9+\sqrt{9}}{8}\) = 3/2 m\(_4\) = \(\frac{9-\sqrt{9}}{8}\) = 3/4 Vậy khi m = 3/2 hoặc m = 3/4 thì phương trình ban đầu luôn có 2 nghiệm x\(_1\), x\(_2\) thỏa mãn : x\(_1\)=2x\(_2\)
Phương trình : x\(^2\) - 2mx + 2m - 1 = 0 (*)
a, phương trình (*) có : \(\Delta\)' = (-m)\(^2\) - 1*(2m - 1 )
= m\(^2\) - 2m + 1
= (m-1)\(^2\) (luôn \(\ge\) 0 với mọi m)
Do đó phương trình (*) luôn có nghiệm với mọi m
b, Áp dụng hệ thức Vi - ét ta có :
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m\\x_1\cdot x_2=2m-1\end{matrix}\right.\)
Ta có :
A = 2(x\(_1\)\(^2\) + x\(_2\)\(^2\) ) - 5x\(_1\)x\(_2\)
= 2*[(x\(_1\)+x\(_2\))\(^2\) - 2x\(_1\)x\(_2\)] - 5x\(_1\)x\(_2\)
= 2*(x\(_1\)+x\(_2\))\(^2\) - 4x\(_1\)x\(_2\) - 5x\(_1\)x\(_2\)
= 2*(x\(_1\)+x\(_2\))\(^2\) - 9x\(_1\)x\(_2\)
Vậy A = 2*(x\(_1\)+x\(_2\))\(^2\) - 9x\(_1\)x\(_2\)
Mà A = 27
\(\Leftrightarrow\) 2*(x\(_1\)+x\(_2\))\(^2\) - 9x\(_1\)x\(_2\) = 27
\(\Leftrightarrow\) 2*(2m)\(^2\) - 9*(2m-1) = 27
\(\Leftrightarrow\) 8m\(^2\) - 18m + 9 = 27
\(\Leftrightarrow\) 8m\(^2\) - 18m - 18 = 0 (1)
\(\Delta\)' = 9\(^2\) - 8*(-18) = 225 > 0
\(\Rightarrow\) \(\sqrt{\Delta'}\) = \(\sqrt{225}\) = 15
Vì \(\Delta\)' > 0 nên phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt
m\(_1\)= \(\frac{9+15}{8}\) = 3
m\(_2\)= \(\frac{9-15}{8}\) = \(\frac{-3}{4}\)
Vậy với m = 3 hoặc m = -3/4 thì A = 27
