Question

cho phương trình \(x^2-2\left(m-2\right)x-1=0\) (m là tham số)

a) tìm các giá trị nguyên dương của m để pt có 2 nghiệm x1 x2 thỏa mãn \(\left|x1-x2\right|\le2\sqrt{5}\)

Answer 1

Ta có ac = 1 . (-1) = -1 < 0 nên pt luôn có 2 nghiệm phân biệt.

Áp dụng hệ thức Viét: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\frac{-b}{a}=2\left(m-2\right)\\x_1x_2=\frac{c}{a}=-1\end{matrix}\right.\)

Do đó: \(\left|x_1-x_2\right|\le2\sqrt{5}\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)^2\le20\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2\le20\)

\(\Leftrightarrow4\left(m-2\right)^2+4\le20\)

\(\Leftrightarrow\left(m-2\right)^2\le4\)

Mà m nguyên nên (m - 2)² là một số chính phương

\(\Rightarrow\left(m-2\right)^2\in\left\{0;1;4\right\}\Leftrightarrow m\in\left\{2;3;6;1;0\right\}\)