\(ax^2+bx+c=0\)
Do phương trình có 2 nghiệm dương
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta>0\\S>0\\P>0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b^2-4ac>0\\\dfrac{-b}{a}>0\\\dfrac{c}{a}>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b^2-4ac>0\\\dfrac{b}{a}< 0\\\dfrac{c}{a}>0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b^2-4ac>0\\b,a\left(trái.dấu\right)\\c,a\left(cùng.dấu\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow b,c\) trái đấu
Xét \(cx^2+bx+a=0\)
Giả sử phương trình có 2 nghiệm dương
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta>0\\P>0\\S>0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b^2-4ac>0\\\dfrac{c}{a}>0\\\dfrac{-b}{c}>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b^2-4ac>0\\\dfrac{c}{a}>0\\\dfrac{b}{c}< 0\end{matrix}\right.\) ( 1 )
Do b , c trái dấu nên ( 1 ) luôn đúng vậy pt \(cx^2+bx+a=0\) luôn có 2 nghiệm dương phân biệt
\(\Rightarrow\) đpcm
Xét pt \(ax^2+bx+c=0\) \(\forall\left\{{}\begin{matrix}x_1>0\\x_2>0\end{matrix}\right.\)
Theo định lý Viet
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}S=x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}>0\\P=x_1x_2=\dfrac{c}{a}>0\end{matrix}\right.\)( 1 )
Xét pt \(cx^2+bx+a=0\) \(\forall\left\{{}\begin{matrix}x_3>0\\x_4>0\end{matrix}\right.\)
Theo định lý Viet
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}S=x_3+x_4=\dfrac{-b}{c}>0\\P=x_3x_4=\dfrac{a}{c}>0\end{matrix}\right.\)( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 )
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz cho 4 bộ số thực không âm
\(\Rightarrow x_1+x_2+x_3+x_4\ge4\sqrt[4]{x_1x_2x_3x_4}\)
\(\Rightarrow x_1+x_2+x_3+x_4\ge4\sqrt[4]{\dfrac{c}{a}.\dfrac{a}{c}}=4\) ( đpcm )