a) ĐKXĐ: \(n^3+2n^2+2n+1\ne0\)
\(\Rightarrow\left(n+1\right)\left(n^2+n+1\right)\ne0\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}n+1\ne0\\n^2+n+1\ne0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}n\ne-1\\n^2+n+1\ne0\end{matrix}\right.\)
Mà \(n^2+n+1=\left(n^2+n+\frac{1}{4}\right)+\frac{3}{4}=\left(n+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0\)
\(\Rightarrow\) Với mọi giá trị của n thì biểu thức trên lớn hơn 0
\(\Rightarrow n\ne-1\)
b) Ta có: \(n^3+2n^2-1=\left(n+1\right)\left(n^2+n-1\right)\)
Vậy,\(P=\frac{n^3+2n^2+2n+1}{n^3+2n^2-1}=\frac{\left(n+1\right)\left(n^2+n+1\right)}{\left(n+1\right)\left(n^2+n-1\right)}=\frac{n^2+n+1}{n^2+n-1}=1+\frac{2}{n^2-n+1}\)
Để P là phân số tối giản
\(\Leftrightarrow\frac{2}{n^2+n-1}\) là phân số tối giản
\(\Leftrightarrow n^2+n-1⋮̸2\)
Ta có: \(n^2+n=n\left(n+1\right)⋮2\) (vì n và n+1 là 2 số nguyên liên tiếp)
\(\Rightarrow n^2+n-1⋮̸2\)
Như vậy, P là phân số tối giản (điều phải chứng minh).