Phương trình hoành độ giao điểm:
\(x^2=mx+2\Leftrightarrow x^2-mx-2=0\) (1)
Do \(ac=-2< 0\Rightarrow\left(1\right)\) luôn có 2 nghiệm trái dấu
\(\Rightarrow\) d luôn cắt (P) tại 2 điểm pb nằm về 2 phía trục tung với mọi m
Tọa độ C thỏa mãn: \(\left\{{}\begin{matrix}y=mx+2\\x=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow C\left(0;2\right)\)
Từ O hạ OH vuông góc AB \(\Rightarrow\) OH là đường cao chung của \(\Delta OAC\) và \(\Delta OBC\)
\(S_{OAC}=2S_{OBC}\Leftrightarrow\frac{1}{2}OH.AC=2.\frac{1}{2}.OH.BC\Rightarrow AC=2BC\)
\(\Leftrightarrow\left(x_A-x_C\right)^2+\left(y_A-y_C\right)^2=4\left(x_B-x_C\right)^2+4\left(y_B-y_C\right)^2\)
\(\Leftrightarrow x_A^2+\left(mx_A+2-2\right)^2=4x_B^2+4\left(mx_B+2-2\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(m^2+1\right)x_A^2=4\left(m^2+1\right)x_B^2\)
\(\Leftrightarrow x^2_A=4x_B^2\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x_A=2x_B\left(loại\right)\\x_A=-2x_B\end{matrix}\right.\) (loại do \(x_A;x_B\) trái dấu)
Kết hợp Viet ta được:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_A+x_B=m\\x_A=-2x_B\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}-x_B=m\\x_A=-2x_B\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_A=2m\\x_B=-m\end{matrix}\right.\)
Mà \(x_Ax_B=-2\Rightarrow-2m^2=-2\Rightarrow m=\pm1\)