Question

Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng p² - 1 chia hết cho 24

Answer 1

Ta có :

 \(p^2-1=p^2+p-p-1=\left(p^2+p\right)-\left(p+1\right)=p\left(p+1\right)-\left(p+1\right)=\left(p+1\right)\left(p-1\right)\)

Vì p>3=> p là số lẻ => (p+1)(p-1)là 2 số chẵn liên tiếp => (p+1)(p-1) chia hết cho 8.  (1)

Vì p>3 =>p có dạng : 3k+1 và 3k+2 ( k là STN )

Với p=3k+1 thì :

   (p+1)(p-1) = (3k+1+1)(3k+1-1)=(3k+2).3k => (p+1)(p-1) chia hết cho 3 .

Với p=3k+2

   (p+1)(p-1)=(3k+2+1)(3k+2-1)=(3k+3)(3k+1)=3(k+1)(3k+1) => (p+1)(p-1) chia hết cho 3

=> (p+1)(p-1) chia hết cho 3 .  (2)

Từ (1) và (2) :

=> (p+1)(p-1) chia hết cho 24. ( Vì 3x8=24 và (3;8)=1 )

<=> p²-1 chia hết cho 24. ( p là số nguyên tố lớn hơn 3)