Cho (O;R) đường kính AB và điểm C∈O sao cho AC < AB. Tiếp tuyến tại C cắt các tiếp tuyến tại A và B lần lượt tại E và F
a)Chứng minh tứ giác AECO nội tiếp
b)Gọi H là giao điểm của EO và AC. Chứng minh:OH.OE=R2
c) BC cắt AE tại D, OD cắt AC tại I, tia DH cắt AB tại K. Gọi P là điểm đối xứng của H qua E. Chứng minh rằng: HCDP là hình chữ nhật và \(IK//AD\)
d)Gọi M là giao điểm của IK và EO. Chứng minh: ba điểm A, M, F thẳng hàng
Cho tam giác ABC nhọn có AB<AC nội tiếp (O), gọi AD là đường kính của (O), tiếp tuyến tại D của (O) cắt BC tại M, đường thẳng MO cắt AB và AC lần lượt tại E, F
a) Chứng minh : MD2=MC.MB
b) Gọi H là trung điểm của BC, qua B vẽ đường thẳng song song với MO đường thẳng này cắt AD tại P. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác BHD đi qua P
c) Chứng minh O là trung điểm của EF
Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By của đường tròn O, trên đường tròn O lấy một điểm C sao cho AC<BC. Tiếp tuyến tại C của đường tròn O cắt Ax và By lần lượt tại E và F
a, CM: EF=AE+BF
b, BC cắt Ax tại D . chứng minh AD2=DC.DB
c,gọi I là giao điểm của OD và AC, OE cắt AC tại H, tia DH cắt AB tại K. cm:IK//AD
Cho ∆ABC nhọn (AB < AC). Đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB, AC tại M và N. Gọi H là giao điểm của BN và CM.
a) Chứng minh AH ^ BC tại D.
b) Gọi S là trung điểm AH. Chứng minh SN là tiếp tuyến của đường tròn (O).
c) Chứng minh OM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ∆AMN.
Cho điểm C thuộc đường tròn tâm O đường kính AB (AC<BC) . Gọi H là trung điểm BC. Tiếp tuyến tại B của đường tròn (O) cắt tia OH tại D
a, Chứng minh: DH.DO=DB2
c, Đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại E. Gọi M là trung điểm AE. Chứng minh 4 điểm D,B,M,C cùng thuộc một đường tròn
d, Gọi I là trung điểm của DH, BI cắt đường tròn (O) tại F. Chứng minh ba điểm A,H,F thẳng hàng
Cho tam giác ABC nhọn có AB<AC nội tiếp (O), gọi AD là đường kính của (O), tiếp tuyến tại D của (O) cắt BC tại M, đường thẳng MO cắt AB và AC lần lượt tại E, F
a) Chứng minh : MD2=MC.MB
b) Gọi H là trung điểm của BC, qua B vẽ đường thẳng song song với MO đường thẳng này cắt AD tại P. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác BHD đi qua P
c) Chứng minh O là trung điểm của EF
Cho đường tròn (O) và điểm A thuộc đường tròn. Gọi d là tiếp tuyến (O) tại d. Trên d lấy D (D khác A). Kẻ tiếp tuyến DB của (O)
a)Chứng minh tứ giác AOBD nội tiếp
b)Trên tia đối BA lấy điểm C.Kẻ DH vuông góc OC, AB cắt OD tại I.Chứng minh OH.OC=OI.OD
c)Gọi M là giao điểm DH với cung nhỏ AB của (O). Chứng minh CM là tiếp tuyến (O)
d)E là giao điểm DH và CI. F là giao điểm thứ 2 của đường tròn đường kính OD và OD là đường tròn ngoại tiếp tam giác OIM
Chứng minh O,E,F thẳng hàng
Cho đường tròn (O) và điểm A thuộc đường tròn. Gọi d là tiếp tuyến (O) tại d. Trên d lấy D (D khác A). Kẻ tiếp tuyến DB của (O)
a)Chứng minh tứ giác AOBD nội tiếp
b)Trên tia đối BA lấy điểm C.Kẻ DH vuông góc OC, AB cắt OD tại I.Chứng minh OH.OC=OI.OD
c)Gọi M là giao điểm DH với cung nhỏ AB của (O). Chứng minh CM là tiếp tuyến (O)
d)E là giao điểm DH và CI. F là giao điểm thứ 2 của đường tròn đường kính OD và OD là đường tròn ngoại tiếp tam giác OIM
Chứng minh O,E,F thẳng hàng
Bài 1 : Trên nửa đường tròn (O;R) đường kính BA. tâm O, lấy hai điểm M, E (M ≠ E ≠ A ≠ B) sao cho hai đường thẳng AM và BE cắt nhau tại điểm C nằm ngoài (O); AE cắt BM tại D.
a) Chứng minh : MCED là một tứ giác nội tiếp và CD vuông góc với AB
b) Gọi H là giao điểm của CD và AB. Chứng minh : BE.BC = HB.BA
c) Chứng minh các tiếp tuyến tại M và E của đường tròn (O) cắt nhau tại một điểm nằm trên đường thẳng CD.
Bài 2 : Từ một điểm A bên ngoài đường tròn (O;R) dựng hai tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến AMN (B,C là tiếp điểm, tia An nằm giữa hai tia AB và AO, M nằm giữa A và N). Gọi H là giao điểm của AO và BC.
a) Chứng minh : AO vuông góc BC và tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn
b) Chứng minh : AM.AN = AH.AO
c) Đoạn thẳng AO cắt đường tròn (O) tại I. Chứng minh : MI là tia phân giác của góc AMH.
Bài 3 : Cho ΔABC có 3 góc nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R. Hai đường cao BE, CF cắt nhau tại H.
a) Chứng minh : Tứ giác AFHE, BFEC nội tiếp
b) Chứng minh : AF.AB = AE.AC
c) Kẻ đường kính AOK. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh : 3 điểm H,M,K thẳng hàng
Cho đường tròn tâm O bán kính R. Từ điểm A nằm ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến cắt đường tròn tại hai điểm B,C. Gọi H là giao điểm của AO và BC. Gọi E là điểm đối xứng của H qua O. Kẻ một đoạn thẳng MN. Với hai điểm M,N lần lượt nằm trên tiếp tuyến AB và AC. Sao cho MN vuông góc với EA tại E. Biết AB = 3R, BH = R/2.
a) Tính diện tích tam giác ABC. b) Chứng minh ABOC nội tiếp. Tính chu vi đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC. c) Chứng minh tứ giác MBCN là hình thang cân và HB/AN = EN/AB Từ N kẻ tiếp tuyến với đường tròn (O) tại J. Chứng minh rằng : d) Năm điểm J,E,O,C,N nội tiếp đường tròn. e) JN // MH. f) Ba điểm J,E,B thẳng hàng.