Cho (O;R) đường kính AB và 1 điểm M nằm trên (O;R) với MA<MB ( M khác A và Mkhác B). Tiếp tuyến tại M của (O;R) cắt tt tại A và B của (O;R) theo thứ tự ở C và D.
a) Chứng tỏ tứ giác ABCD là hình thang vuông
b) AD cắt (O;R) tại E,OD cắt MB tại N. Chứng tỏ :
OD vuông góc với MB và DE.DA=DN.DO
c) Đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt đường thẳng AM tại F. Chứng tỏ tứ giác OFDB là hình chữ nhật.
d) Cho AM =R. tính theo R diện tính tứ giác ACDB.
a) Ta có: AC⊥AB(AC là tiếp tuyến tại A của đường tròn (O))
BD⊥AB(BD là tiếp tuyến tại B của đường tròn (O))
Do đó: AC//BD(Định lí 1 từ vuông góc tới song song)
Xét tứ giác ACDB có AC//BD(cmt)
nên ACDB là hình thang có hai đáy là AC và BD(Định nghĩa hình thang)
Hình thang ACDB(AC//BD) có \(\widehat{CAB}=90^0\)(CA⊥AB)
nên ACDB là hình thang vuông(Định nghĩa hình thang vuông)
b) Xét (O) có
BD là tiếp tuyến có B là tiếp điểm(gt)
MD là tiếp tuyến có M là tiếp điểm(gt)
Do đó: BD=MD(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
⇒D nằm trên đường trung trực của BM(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(1)
Ta có: OM=OB(=R)
nên O nằm trên đường trung trực của BM(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(2)
Từ (1) và (2) suy ra OD là đường trung trực của MB
hay OD⊥MB
Xét (O) có
ΔEAB nội tiếp đường tròn(Vì E,A,B(O))
AB là đường kính của (O)
Do đó: ΔEAB vuông tại E(Định lí)
⇒EB⊥EA
hay BE⊥DA
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔDBA vuông tại B có BE là đường cao ứng với cạnh huyền DA, ta được:
\(DE\cdot DA=DB^2\)(1)
Ta có: BM⊥DO(cmt)
nên BN⊥DO(Vì BM cắt DO tại N)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔDOB vuông tại B có BN là đường cao ứng với cạnh huyền DO, ta được:
\(DN\cdot DO=DB^2\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(DE\cdot DA=DN\cdot DO\)(đpcm)