Question

Cho (O) , có đường kính AB = 2R . Vẽ đường thẳng d là tiếp tuyến của (O) tại A , lấy M tùy ý trên d . Vẽ OH vuông góc BM , tia HO cắt d tại N . C/m 
a) AM.AN = 2R\(^2\)
b) Góc MAH = MBN 
 

Answer 1

Vì MN là tiếp tuyến với đường tròn O tại A

=>\(AB\perp MN\)

a) Xét tứ giác HANB có: \(\widehat{A}=\widehat{H}=90^o\) mà 2 góc cùng nhìn cạnh BN

=> tứ giác HANB nội tiếp

=> \(\widehat{ANO}=\widehat{HBO}\)

Xét tam giác NAB và tam giác OAN có:

\(\widehat{MAB}=\widehat{NAO}\)

\(\widehat{ANO}=\widehat{MBA}\)

=> \(\Delta NAO\sim\Delta BAM\left(g.g\right)\)

=> \(\dfrac{AO}{AM}=\dfrac{AN}{BA}\Rightarrow AM.AN=AB.AO=2R^2\left(đpcm\right)\)

b) Vì tứ giác HANB nội tiếp

=> \(\widehat{HAB}=\widehat{HNB}\)

Ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{MAH}=90^o-\widehat{HAB}\\\widehat{HBN}=90^o-\widehat{HNB}\end{matrix}\right.\) mà \(\widehat{HAB}=\widehat{HNB}\)

=> \(\widehat{MAH}=\widehat{HBN}\left(đpcm\right)\)