Question

Cho nữa Đường tròn (O;R), có đường kính AB, M là điểm thuộc nữa đường tròn , H là hình chiếu của M trên AB . Xác định M để AH+HM lớn nhất.

Answer 1

Vẽ N trên đường tròn ( O;R) sao cho góc BON = 45^o 

Tiếp tuyến của nửa đường tròn (O) tại N cắt AB tại C 

Ta có : N ; C cố định .Tam giác NOC vuông cân tại N 

Xét M \(\equiv\) N => H \(\equiv\) K 

Do đó : AH +HM = AK + KN = AK + KC = AC

Xét M khác N : tia CM nằm giữa 2 tin CA , CN

do đó : góc ACM < góc ACN = 45^o .

tg MHC có góc MHC = 90^o nên góc HMC + góc HCM  = 90^o

Mà góc HCM < 45^o  nên góc HMC > 45^o

=> góc HCM < góc HMC

Tg HMC có góc HCM < góc HMC  = > HM < HC 

Do đó : AH + HM < AH + HC = AC

Vậy khi M ở trên đường tròn ( O;R) sao cho góc BOM = 45^o thì AH + HM lớn nhất.