Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB. Trên một nửa mặt phẳng bờ AB có chứa nửa
đường tròn, vẽ các tia tiếp tuyến Ax, By với đường tròn (O). Gọi H là một điểm bất kỳ
trên nửa đường tròn (H không trùng A và B). Tiếp tuyến của đường tròn tại H lần lượt
cắt Ax và By tại C và D.
a) Chứng minh AC + BD = CD
b) Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác COD.
c) Tìm vị trí của điểm H trên nửa đường tròn sao cho diện tích tứ giác
ACDB nhỏ nhất
a, Theo tính chất 2 tt cắt nhau: \(AC=CH;BD=DH\Rightarrow AC+BH=CH+HD=CD\)
b, Vì \(AC=CH;CO.chung;\widehat{CAO}=\widehat{CHO}=90^0\) nên \(\Delta CAO=\Delta CHO\left(cgv-ch\right)\)
Do đó \(\widehat{AOC}=\widehat{COH}\) hay OC là p/g \(\widehat{AOH}\)
Tương tự: \(\widehat{BOD}=\widehat{DOH}\) hay OD là p/g \(\widehat{HOB}\)
\(\Rightarrow\widehat{COD}=\widehat{COH}+\widehat{HOD}=\dfrac{1}{2}\left(\widehat{AOH}+\widehat{HOB}\right)=90^0\\ \Rightarrow\Delta OCD\perp O\)
Do đó OCD nội tiếp đường tròn tâm là trung điểm CD
Gọi I là trung điểm CD
Xét hthang ABDC(AC//BD) có O là trung điểm AB, I là trung điểm CD nên OI là đtb ht ABDC
\(\Rightarrow OI//AC\\ \Rightarrow OI\perp AB\)
Vậy AB là tt đường tròn nt tg OCD