Question

Cho n thuộc z. Chứng minh : (n-2)(n-1)n(n+1) chia hết cho 24.

Answer 1

Ta thấy 24 = 3.8

Mặt khác ƯCLN(3,8)=1 nên ta cần chứng minh tích trên chia hết cho 3 và 8

*Chứng minh chia hết cho 3

Vì tích \(\left(n-2\right).\left(n-1\right).n.\left(n+1\right)\)là tích của 4 số tự nhiên liên tiếp

Do đó \(\left(n-2\right).\left(n-1\right).n.\left(n+1\right)\)chia hết cho 3               (1)

*Chứng minh chia hết cho 8

Vì tích \(\left(n-2\right).\left(n-1\right).n.\left(n+1\right)\)là tích của 4 số tự nhiên liên tiếp nên sẽ có 2 số chẵn và 2 số lẻ

Ta thấy tích 2 số chẵn liên tiếp luôn chia hết cho 8 nên \(\left(n-2\right).\left(n-1\right).n.\left(n+1\right)\)chia hết cho 8        (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\left(n-2\right).\left(n-1\right).n.\left(n+1\right)\)chia hết cho 24