Question

cho n thuộc Nvaf n>1. chứng minh n^4+4n là hợp số

 

Answer 1

Nếu n chẵn thì cái tổng chia hết cho 2

Nếu n lẻ thì

Phân tích nhân tử

Ta có : \(n^4+4^n=\left(n^2\right)^2+\left(2^n\right)^2+2n^2+2^n=\left(n^2+2^n\right)^2-n^2+2^{n+1}=\left(n^2+2^n-n.2^{\frac{n+1}{2}}\right)\left(n^2+2^n+n.2^{\frac{n+1}{2}}\right)\)

Ta chỉ cần chứng minh cả 2 thừa số đều lớn hơn 1 là được

Tức là ta chứng minh \(n^2+2^n-n.2^{\frac{n+1}{2}}\ge1\)

Tương đương với \(n^2+2^{n+1}-2n.2^{\frac{n+1}{2}}+n^2\ge2\) ( nhân 2 cho 2 vế )

\(BĐT\Rightarrow\left(n-2^{\frac{n+1}{2}}\right)^2+n^2\ge2\)đúng với n lẻ và n ≥ 3 

Vậy, ta có điều phải chứng minh 

Answer 2

bạn à 4n không phải n^4